圓弧中點的性質(zhì)及其應用.pdf

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1、6中等數(shù)學圓弧中點的性質(zhì)及其應用沈文選(湖南師范大學數(shù)學奧林匹克研究所，410081)中圖分類號：0123．1文獻標識碼：A文章編號：1005—6416(2013)07一OOO6—04(本講適合高中)上一點，過D的OO的切線與o0交于曰、圓弧的中點聯(lián)系著相等的弦，相等的圓c兩點，直線AD與o0交于點周角，角平分線，平行的直線等，這為處理某(1)若o0。內(nèi)切于o0，則AM平分些平面幾何問題建立了一些平臺，從而獲得BAC，且C=MD·MA；比較清晰的解題思路．本文將這些“平臺”以(2)若o0。外切于o0，則AM平分性質(zhì)的形式給出．BAC的外角，且MCz=MD·MA，M為圓弧，-、1知識

2、介紹BC的中點．性質(zhì)5(阿基米德折弦定理)設為圓性質(zhì)l設為圓弧BC上的一點，則·、弧BC的中點，A是該圓弧所在圓周上的另一為弧BC的中點的充分必要條件是MB=MC．點，且與在弦BC的同側，滿足AB>AC，作／、MD上AB于點D，則BD=DA+AC．性質(zhì)2設為圓弧BC上的一點，則性質(zhì)5的證明如圖1，在BA上取點為弧BC的中點的充分必要條件是過點的E，使BE=AC．圓弧的切線與弦BC平行．，、性質(zhì)3設M為圓弧BC上的一點，該圓弧所在圓上的另一點與位于弦BC的異側，點，在線段AM上，且滿足IM=MB，則C為弧BC的中點的充分必要條件是，為△ABC的內(nèi)心．、性質(zhì)4設為圓弧BC的中點，A是該

3、圖l圓弧所在圓周上另一點，直線MA與直線BC易知△MBE△MCA．交于點D．從而，ME=MA．(1)若點A與位于弦BC的異側，則又MD上，則ED=DA．AM平分／BAC，且MC=MD·MA；故BD=BE+ED=AC+DA．(2)若點A與位于弦BC的同側，則，、推論2設為圓弧BC的中點，A是該AM平分BAC的外角，且圓弧所在圓周上的另一點，且AB>AC．MC=MD·MA．AD·AM=AB·AC．(1)若點A與位于弦BC的同側，則推論1兩圓O0與O0：相切于點AMB一MA=BA·AC；(o0．的半徑小于o0的半徑)，D為O0(2)若點A與位于弦BC的異側，則MA2一MB：BA．AC收稿

4、日期：2012—10—19修稿日期：2013—03—22．2013年第7期7CN=NB=AC=b．AB／／CN．2應用舉例于是，四邊形ABCM及四邊形ABNC均、例1在△ABC中，已知AB>AC，A為等腰梯形，有的一個外角的平分線與△ABC的外接圓交BM=AC=b．AN=BC：a．于點E，過作上AB于點證明：注意到，M、Ⅳ分別為弧AC、BC(分別不2AF=AB—AC．含B或)的中點，由推論2(2)知(1989，全國高中數(shù)學聯(lián)賽)MB一MA=AB·BC．證明如圖2，設為延長線上一NA。一NB。=AB·AC．點，聯(lián)結EB、EC．即b一c=ac．a(chǎn)2一b=bc．K兩式相加得a一ac—c(

5、b+c)二旦：旦：一1．①又由b+bc=a，有a=導D．②l冬I2由式①、②得由AE平分BAC的外角知導一a：1+T1：一1．③CD0DC。胎C=EAK=EAB=ECB．(2)解由式③得ab=ac+6c．于是，EC=EB，即E為圓弧BAC的中點．故由性質(zhì)5知BF=AF+AC．從而，AB—FA=AF+AC．a(chǎn)2+b~+c2+2(ab-bc-ac)．．———．1一2+b+c2一’故2F=AB—AC．a(chǎn)例2在△ABC中，已知：：C例3已知C是線段AB的中點，過點=4：2：1，A、B、C的對邊分別記為a,b、C．A、c的oD。與過點、G的oD交于c、D兩(1)證明：1+丁1：；點，P是o0

6、。上弧AD(不包含點C)的中點，aDCQ是o0上弧BD(不包含點C)的中點．證(2)求的值．明：P9-l-cD．?(1)證明如圖3，作ABC的角平分(2006，波蘭數(shù)學奧林匹克)線，與△ABC的外接圓交于點，作BAC證明如圖4，聯(lián)結、PD、QD、QB，設的角平分線，與△ABC的外接圓交于點Ⅳ．PC與AD交于點E，QC與BD交于點CⅣ圖3圖4則AM=MC=AB=c．AM／／BC；由性質(zhì)4知8中等數(shù)學PD=PE·PC，QD=QF·Qc，于是，由相似三角形知及CE·CP=CA·CD=CB·CD=CF·CQ．EP=EP·ET．③故P∥一QD=PE·PC—QF·Qc由式②、③知EB=E1．=

7、(PC—CE)·PC一(Qc—CF)·Qc利用性質(zhì)3，知，為△DBC的內(nèi)心．=PC一QC一CE·PC+CF·QC這表明，△DBC的內(nèi)心在直線PQ上．=PC一QC．同理，AABC的內(nèi)心也在直線Pp上．由等差冪線定理知PQ_l-CD．例5設D是銳角△ABC外接圓圓，例4凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓，，與邊’、’、／。、上弧BC的中點，點在弧BD上，E是弧ABXBC相交的一個圓與圓廠內(nèi)切，且分別與，、的中點，Js是弧AC上一點，直線SD與BC交BD、AC切于點P、Q．證明：AA