圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用.pdf

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1、.圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用尹建堂一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)源于它的切線和法線的性質(zhì)，因而為正確理解與掌握其光學(xué)性質(zhì)，就要掌握其切線、法線方程的求法及性質(zhì)。設(shè)P（）為圓錐曲線（A、B、C不同時為零）上一定點，則在該點處的切線方程為：。（該方程與已知曲線方程本身相比，得到的規(guī)律就是通常所說的“替換法則”，可直接用此法則寫出切線方程）。該方程的推導(dǎo)，原則上用“△法”求出在點P處的切線斜率，進而用點斜式寫出切線方程，則在點P處的法線方程為。1、拋物線的切線、法線性質(zhì)經(jīng)過拋物線上一點作一條直線平行于拋物線的軸，那么經(jīng)過這一點的法線平分這條

2、直線和這一點的焦半徑的夾角。如圖1中。事實上，設(shè)為拋物線上一點，則切線MT的方程可由替換法則，得，即，斜率為，于是得在點M處的法線方程為令，得法線與x軸的交點N的坐標(biāo)為，'..所以又焦半徑所以，從而得即當(dāng)點M與頂點O重合時，法線為x軸，結(jié)論仍成立。所以過M的法線平分這條直線和這一點的焦半徑的夾角。也可以利用點M處的切線方程求出，則，又故，從而得也可以利用到角公式來證明拋物線的這個性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸”。2、橢圓的切線、法線性質(zhì)經(jīng)過橢圓上一點的法線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角

3、。如圖2中證明也不難，分別求出，然后用到角公式即可獲證。橢圓的這個性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上”。3、雙曲線的切線、法線性質(zhì)經(jīng)過雙曲線上一點的切線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角，如圖3中。仍可利用到角公式獲證。'..這個性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣”。二、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用光學(xué)性質(zhì)在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛地應(yīng)用。這里僅舉例說明這些光學(xué)性質(zhì)在解圓錐曲線的有關(guān)問題中的應(yīng)用。應(yīng)用圓錐曲線

4、光學(xué)性質(zhì)解題，特別是切線問題是十分方便的。其間要注意一個基本關(guān)系式的應(yīng)用，即“過投射點的曲線的切線與入射線、反射線成等角”。如圖4，MN切曲線C于點P，則∠APM＝∠BPN。這是很容易由物理學(xué)的“入射角等于反射角”及平面幾何中“等角的余角相等來證明的。例1求證：橢圓和雙曲線在交點處的切線互相垂直。分析：如圖5，用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)證明∠1＋∠3＝90°即可。證明：如圖5，兩曲線的公共焦點，設(shè)P為兩曲線的一個交點，PQ、PR分別為橢圓、雙曲線的切線，連，并延長，由橢圓光學(xué)性質(zhì)，推得∠1＝∠2；由雙曲線光學(xué)性質(zhì)，得∠3＝∠4。'..又∠2＝∠5，∠4

5、＝∠6（對頂角相等），所以∠1＝∠5，∠3＝∠6（等量代換）。又∠1＋∠3＋∠5＋∠6＝180°，所以∠1＋∠3＝90°，即PQ⊥PR，命題得證。評注：（1）本題也可采用代數(shù)運算證出的方法來證明，但比較復(fù)雜。這里采用光學(xué)性質(zhì)證明法則直觀簡捷。（2）由本題得到一個一般性命題：焦點相同的一個橢圓與一雙曲線在交點處的切線互相垂直，于是有定義：兩圓錐曲線在交點處的兩條切線互相垂直，叫做這兩曲直交。例2如圖6，已知是橢圓的焦點，分別是在橢圓任一切線CD上的射影。（1）求證：為定值；（2）求的軌跡方程。分析：（1）欲證為定值，即證為定值（由光學(xué)性質(zhì)推得），

6、從而知應(yīng)用余弦定理于即可獲證。）（2）求出分別為定值即知其軌跡，易得軌跡方程。證明：（1）設(shè)Q為切線，由橢圓光學(xué)性質(zhì)推知設(shè)為，則所以又，則在中，'..則所以為常數(shù)，即定值。（2）設(shè)點O在CD上的射影為M，則OM是直角梯形的中位線，于是有。在中，同理所以的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，其方程為例3設(shè)拋物線的焦點為F，以F與A（4，4）為焦點作橢圓，使其與已知拋物線有公共點（如圖7），當(dāng)長軸最短時，求橢圓方程。分析：求解的關(guān)鍵是光線FP的反射線PA平行于x軸。解：設(shè)以點A（4，4）、F（4，0）為焦點的橢圓為（a為長半軸長）。①再設(shè)P為拋物線與橢

7、圓的公共點，由橢圓第一定義知：②'..即長軸長2a等于拋物線上一點P到兩定點A、F距離之和，若2a最小，當(dāng)且僅當(dāng)橢圓與拋物線相切。此時，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知，光線FP的反射線PA平行于x軸。所以P（1，4）。由②知所以所求的橢圓方程為例4如圖8，已知探照燈的軸截面是拋物線，平行于對稱軸的光線于此拋物線上的入射點、反射點分別為P、Q，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為，當(dāng)a為何值時，從入射點P到反射點Q的路程PQ最短？分析：設(shè)，由拋物線光學(xué)性質(zhì)知PQ過焦點，故可用弦長公式建立目標(biāo)函數(shù)，求出最小值條件a即可。解：由拋物線光學(xué)性質(zhì)知光線PQ必過其焦點，設(shè)點，則直線P

8、Q的方程為①將方程代入①，消去x，得或故知點Q坐標(biāo)為'..則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立。此刻，即當(dāng)時，亦即入射點、反射點時最短，過時P、Q恰好關(guān)于x軸對