概率統(tǒng)計(jì).第七章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件.ppt

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1、多媒體教學(xué)課件DepartmentofMathematics概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主講人：王東明2011年.秋學(xué)期1第七章隨機(jī)變量的數(shù)字特征2第一節(jié)數(shù)學(xué)期望3一、數(shù)學(xué)期望的引入例在1000次重復(fù)試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X取值為100有300次，取值為200有700次。問X取值的平均值是多少？X的分布為：4加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算：隨機(jī)變量的平均值：概率替換頻率5二、數(shù)學(xué)期望的定義為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.6補(bǔ)充說明：加權(quán)平均數(shù)：離散隨機(jī)變量期望：連續(xù)隨機(jī)變量期望：頻率概率概率注：1)期望是均值的推廣或更一般的形式。2)連續(xù)隨機(jī)變量期望公式可由離散隨機(jī)變量期望公式和定積分定義推出。789三、一維隨機(jī)變

2、量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望10例4設(shè)隨機(jī)變量X的分布為解：111213數(shù)學(xué)期望在解決實(shí)際問題中有著非常重要的應(yīng)用，見下面的例子.14例8某公司生產(chǎn)的機(jī)器無故障工作時(shí)間X有密度函數(shù)公司每售出一臺機(jī)器可獲利1600元，若機(jī)器在售出1.2萬小時(shí)之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以更換，這時(shí)每臺虧損1200元；若在1.2到2萬小時(shí)之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負(fù)擔(dān)維修費(fèi)400元；若在使用2萬小時(shí)以上出現(xiàn)故障，則用戶自己負(fù)責(zé)。求該公司售出每臺機(jī)器的平均獲利。15解決方法：求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.關(guān)鍵：16公司每售出一臺機(jī)器可獲利1600元,若機(jī)器在售出1.2萬小時(shí)之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以更換，每臺虧損1200元；若

3、在1.2到2萬小時(shí)之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負(fù)擔(dān)維修費(fèi)400元；若在使用2萬小時(shí)以上出現(xiàn)故障，則用戶自己負(fù)責(zé)。1718四、多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望19201x2y021五、數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì)線性性質(zhì)2223例11將n個(gè)球隨機(jī)放入M個(gè)盒子中去,設(shè)每個(gè)球放入每個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望。這種方法稱為分解隨機(jī)變量法，是概率統(tǒng)計(jì)中典型、重要的一種解題方法。24例11將n個(gè)球隨機(jī)放入M個(gè)盒子中去,設(shè)每個(gè)球放入每個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的期望。古典概型25例12〔疾病檢驗(yàn)問題〕在人數(shù)為N的人群中普查某種疾病，抽驗(yàn)N個(gè)人的血。方案①：分別檢驗(yàn)；方案②：按k個(gè)人一組來檢

4、驗(yàn)。〔注：若k個(gè)人的混合血液呈陰性，則每個(gè)人的血液都呈陰性；若k個(gè)人的混合血液呈陽性，則至少有一個(gè)人的血液都呈陽性?！臣僭O(shè)該疾病的發(fā)病率為p，且得病相互獨(dú)立，問哪一種方案能夠減少平均每個(gè)人檢驗(yàn)的次數(shù)。解：按照方案①，每個(gè)人需要驗(yàn)血的次數(shù)都為1次；而按照方案②，每個(gè)人需要驗(yàn)血的次數(shù)X的分布列為26補(bǔ)充說明：27例13某公司經(jīng)銷某種原料,根據(jù)歷史資料表明:這種原料的市場需求量X(單位：噸)服從(300，500)上的均勻分布.每售出1噸該原料,公司可獲利1.5千元；若積壓1噸,則公司損失0.5千元。問公司應(yīng)該組織多少貨源,可以使平均收益最大？28例13某公司經(jīng)銷某種原料,根據(jù)歷史資料表明

5、:這種原料的市場需求量X(單位：噸)服從(300，500)上的均勻分布.每售出1噸該原料,公司可獲利1.5千元；若積壓1噸,則公司損失0.5千元。問公司應(yīng)該組織多少貨源,可以使平均收益最大？2930第二節(jié)方差與標(biāo)準(zhǔn)差31引例比較隨機(jī)變量X、Y的期望盡管有相同的期望EX=EY,但Y的取值比X要分散，這表明僅有期望不足以完整地描述離散型隨機(jī)變量的分布特征，還須進(jìn)一步研究它的離散程度.注：X、Y的期望相同，但誤差取值的波動性不同。對產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性,市場的波動性，投資的風(fēng)險(xiǎn)等問題的研究，都涉及到對隨機(jī)變量分布的分散程度的研究。32我們最直接的想法是用Xi-E(X)表示離散程度,Xi-E(

6、X)稱為離差，它的取值可正可負(fù)，且它的數(shù)學(xué)期望為0，因而不能用它的均值來衡量X對E(X)的離散程度，為了消除離差取值符號的影響，我們采用離差的平方[X-E(X)]2的均值來衡量X對E(X)的離散程度，由此引入“方差”的概念：33一、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義34方差的常用計(jì)算公式：方差的定義式：35離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差計(jì)算公式36離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差計(jì)算公式37分布列與方差大小的關(guān)系：結(jié)論1：取值分布集中，方差較??；反之方差較大.38密度函數(shù)與方差大小的關(guān)系：結(jié)論2：密度函數(shù)圖形較陡峭的方差較小；反之方差較大.39例2計(jì)算泊松分布的方差。解:泊松分布的分布律為40例3正態(tài)分

7、布的方差。41例4計(jì)算指數(shù)分布的方差。42二、方差的性質(zhì)方差不具備線性性質(zhì).43例5計(jì)算二項(xiàng)分布的方差。二項(xiàng)分布的可加性注：直接利用二項(xiàng)分布律和級數(shù)的運(yùn)算也可以求出二項(xiàng)分布的期望和方差。44注：本例是數(shù)理統(tǒng)計(jì)常用的一個(gè)重要結(jié)果，它體現(xiàn)了平均值的穩(wěn)定性。45例7某人有一筆資金,可投入兩個(gè)項(xiàng)目:房產(chǎn)和商業(yè),其收益都與市場有關(guān)。若把未來市場劃分為好、中、差三個(gè)等級,其發(fā)生的概率分別是0.2,0.7和0.1。通過調(diào)查,該投資者認(rèn)為投資房產(chǎn)的收益X(萬元)和投資商業(yè)的收益Y(萬