概率4-1隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件.ppt

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1、第一節(jié)數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、概念

2、的引入：我們來(lái)看一個(gè)引例.例1某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況若統(tǒng)計(jì)100天,32天沒(méi)有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？（假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品）可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27

3、.n0天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)一般來(lái)說(shuō),若統(tǒng)計(jì)n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù).我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值.定義1設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…請(qǐng)注意:離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期

4、望，又稱為均值。若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)即的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為,例101200.20.80120.60.30.1二、幾種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的期望1．兩點(diǎn)分布設(shè)服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，即X01p1-pp則2．二項(xiàng)分布設(shè)，其概率分布為則令，則從而泊松分布到站時(shí)刻8:108:308:509:109:309:50概率1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.例3按規(guī)定,某車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站,但到站時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。

5、其規(guī)律為：二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0

6、X的數(shù)學(xué)期望,即請(qǐng)注意:連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分.例4例5若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī),求整機(jī)壽命(以小時(shí)計(jì))N的數(shù)學(xué)期望.的分布函數(shù)為三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.問(wèn)題的提出：設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái).一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來(lái).那么是否可以不先求g(X)

7、的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.(1)當(dāng)X為離散型時(shí),它的分布率為P(X=xk)=pk;(2)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),它的密度函數(shù)為f(x).若定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.上述定理還可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。例6四、數(shù)學(xué)期望的性

8、質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;4.設(shè)X、Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);2.若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（諸Xi相互獨(dú)立時(shí)）請(qǐng)注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例8用另一種方法求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望若X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).現(xiàn)在我們來(lái)求X的數(shù)學(xué)期望.可見(jiàn)，服從