函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性課件.ppt

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1、第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性（二）一、曲線凹凸的定義二、曲線凹凸的判定三、曲線的拐點(diǎn)及其求法四、小結(jié)思考題一、曲線凹凸的定義【問題】單調(diào)性不能反映曲線的彎曲方向；如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方【定義】二、曲線凹凸的判定【定理1】【觀察】【證】只證(1)如圖由拉氏中值定理可得兩式相減得即亦即凹的［證完］【例1】【解】【注意到】【注】定理中區(qū)間為非閉區(qū)間時(shí)仍然成立.這樣的點(diǎn)稱為拐點(diǎn).三、曲線的拐點(diǎn)及其求法1、【定義】【注意】拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線（指拐點(diǎn)處可導(dǎo)時(shí)）.2、拐點(diǎn)的求法【分析】連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)(內(nèi)點(diǎn))稱為曲線

2、的拐點(diǎn).所以要尋求拐點(diǎn),只要找出f?(x)符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn)即可.如果f(x)在區(qū)間I內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則二階導(dǎo)數(shù)值在由負(fù)變正或由正變負(fù)的過程中,必在分界點(diǎn)處的值為零.即此外二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)（如下圖）原點(diǎn)既是角點(diǎn)、又是拐點(diǎn)，不可導(dǎo)可能的拐點(diǎn)【總結(jié)】①②【方法】【求拐點(diǎn)的步驟】設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),且x0是可能的拐點(diǎn),則【例2】【解】拐點(diǎn)拐點(diǎn)【例3】【解】但時(shí)總有凹的故此例說明了的點(diǎn)也可能不是拐點(diǎn).【結(jié)論】【例4】【解】【注意】【凹凸性應(yīng)用】由曲線的凹凸定義證明不等式證明教材P1529(3)【證】令則于是由凹弧定義有即［得證］【例5】四、小結(jié)曲線的彎

3、曲方向——凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);凹凸性的判定——f?(x)的符號(hào).拐點(diǎn)的求法：1.找出可能拐點(diǎn)；2.判別.一階導(dǎo)數(shù)反映曲線的單調(diào)性；二階導(dǎo)數(shù)反映曲線的凹凸性凹凸性的應(yīng)用:證明不等式可能拐點(diǎn)——1.f?(x)=0的點(diǎn)；2.f?(x)不存在的點(diǎn).【思考題】【思考題解答】【例】