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《函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、n階泰勒公式:其中泰勒目錄上頁下頁返回結(jié)束n階麥克勞林（Maclaurin）公式幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、曲線的凹凸與拐點函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1設(shè)函數(shù)則在I內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:不妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢例1確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁
2、返回結(jié)束說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2證明時,成立不等式證:令從而因此且證證明目錄上頁下頁返回結(jié)束*證明令則從而即定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為拐點.圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在I內(nèi)圖形是凸的.證:利用一階泰勒公式可得兩
3、式相加說明(1)成立;(2)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢例3判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)為曲線的拐點.凹凸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求可疑拐點坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲
4、線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)及均為拐點.凹凹凸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上凹凸的分界點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:利用單調(diào)增加,及B1.設(shè)在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束.2.曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及作業(yè)P1513(6),(7);4(4);8(6);9(3);;第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束有位于一直線的三個拐點.1.求證曲線證明：拓展題機動目錄上頁下頁返回
5、結(jié)束令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:當(dāng)時，有證明:令,則是凸函數(shù)即2.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(自證)
