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1、§1含參量正常積分對多元函數(shù)其中的一個自變量進行積分形成的函數(shù)稱為含參量積分,它可用來構(gòu)造新的非初等函數(shù).含參量積分包含正常積分和非正常積分兩種形式.一、含參量正常積分的定義返回五、例題四、含參量正常積分的可積性三、含參量正常積分的可微性二、含參量正常積分的連續(xù)性一、含參量正常積分的定義設(shè)是定義在矩形區(qū)域上的定義在上以y為自變量的一元函數(shù).倘若這時在上可積,則其積分值是定義在上的函數(shù).一般地,設(shè)為定義在區(qū)域二元函數(shù).當x取上的定值時,函數(shù)是上的二元函數(shù),其中c(x),d(x)為定義在上的連續(xù)函數(shù)(圖19-1),若對于上每一固定的x值,作為y
2、的函數(shù)在閉區(qū)間上可積,則其積分值是定義在上的函數(shù).用積分形式(1)和(2)所定義的這函數(shù)與通稱為定義在上的含參量x的(正常)積分,或簡稱為含參量積分.二、含參量正常積分的連續(xù)性定理19.1()若二元函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù),則函數(shù)在[a,b]上連續(xù).證設(shè)對充分小的(若x為區(qū)間的端點,則僅考慮),于是由于在有界閉區(qū)域R上連續(xù),從而一致連續(xù),即對任意總存在對R內(nèi)任意兩點只要就有所以由(3),(4)可得,即I(x)在上連續(xù).同理可證:若在矩形區(qū)域R上連續(xù),則含參量的積分在[c,d]上連續(xù).注1對于定理19.1的結(jié)論也可以寫成如下的形式:若在矩形區(qū)域R
3、上連續(xù),則對任何都有這個結(jié)論表明,定義在矩形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),其極限運算與積分運算的順序是可以交換的.為任意區(qū)間.注2由于連續(xù)性是局部性質(zhì),定理19.1中條件定理19.2()若二元函數(shù)在區(qū)域上連續(xù),其中c(x),d(x)為上的連續(xù)函數(shù),則函數(shù)在上連續(xù).證對積分(6)用換元積分法,令當y在c(x)與d(x)之間取值時,t在[0,1]上取值,且所以從(6)式可得由于被積函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù),由定理19.1得積分(6)所確定的函數(shù)F(x)在[a,b]連續(xù).三、含參量正常積分的可微性定理19.3()若函數(shù)與其偏導數(shù)都在矩形區(qū)域上連續(xù),則函數(shù)在上可微
4、,且證對于內(nèi)任意一點x,設(shè)(若x為區(qū)間的端點,則討論單側(cè)函數(shù)),則由微分學的拉格朗日中值定理及在有界閉域R上連續(xù)(從而一致連續(xù)),對只要就有這就證明了對一切有上連續(xù),c(x),d(x)為定義在上定理19.4(的可微性)設(shè)在其值含于[p,q]內(nèi)的可微函數(shù),則函數(shù)在上可微,且證把F(x)看作復合函數(shù):由復合函數(shù)求導法則及變動上限積分的性質(zhì),有注由于可微性也是局部性質(zhì),定理19.3中條件f與其中為任意區(qū)間.四、含參量正常積分的可積性由定理19.1與定理19.2推得:定理19.5()若在矩形區(qū)域上連續(xù),則I(x)與J(x)分別在和上可積.這就是說:
5、在連續(xù)性假設(shè)下,同時存在兩個求積順序不同的積分:與為書寫簡便起見,今后將上述兩個積分寫作與前者表示先對y求積然后對x求積,后者則表示求積順序相反.它們統(tǒng)稱為累次積分.在連續(xù)性假設(shè)下,累次積分與求積順序無關(guān).定理19.6若在矩形區(qū)域上連續(xù),則證記其中對于則有因為與都在R上連續(xù),由定理19.3,故得因此對一切有當時,即得取就得到所要證明的(8)式.解記由于五、例題例1求都是a和x的連續(xù)函數(shù),由定理19.2已知I(a)在處連續(xù),所以例2討論函數(shù)的連續(xù)性.解易見的定義域為令上連續(xù),因此上連續(xù),從而在上連續(xù).由的任意性可得在上連續(xù).例3計算積分解令上
6、滿足定理19.3的條件,于是因為顯然且函數(shù)在所以因而另一方面所以分小時,函數(shù)(9)的各階導數(shù)存在，且例4設(shè)在的某個鄰域內(nèi)連續(xù),驗證當
7、x
8、充解由于(9)中被積函數(shù)以及其偏導數(shù)在原點的某個方鄰域內(nèi)連續(xù),于是由定理19.4可得同理如此繼續(xù)下去，求得k階導數(shù)為特別當時有于是附帶說明:當x=0時,及其各導數(shù)為例5求解因為又由于函數(shù)上滿足定理19.6的條件,所以交換積分順序得到例6設(shè)求解顯然,本題不宜先求出,再算積分值.可試用交換積分次序的方法求出積分值.設(shè)則在上連續(xù),由定理19.6,復習思考題1.參照定理19.1的證明,定理19.1中條件是否可減弱
9、為:(1)則(2)驗證你的結(jié)論.2.若在上一致連續(xù),能否推得在上一致連續(xù)?
