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1、第十九章含參量積分§1含參量正常積分教學目的與要求：(1)了解含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明(2)熟練掌握含參量正常積分的導數(shù)的計算公式．(3)掌握含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的應用(4)掌握含參量反常積分的一致收斂性及其判別法教學重點，難點：重點：含參量正常積分定義級其性質；掌握含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的應用；含參量反常積分的一致收斂性及魏爾斯特拉斯判別法難點：含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性；含參量反常積分的一致收斂的狄里克雷判別法和阿貝爾判別教學內容：一、含參量正常積分的概念定義設
2、二元函數(shù)在矩形區(qū)域上有定義，且對內每一點，函數(shù)關于在閉區(qū)間上可積，則定義了的函數(shù)，（1）設二元函數(shù)在區(qū)域上有定義，函數(shù)，為上的連續(xù)函數(shù)，且對內每一點，函數(shù)關于在閉區(qū)間上可積，則定義了的函數(shù)，（2）稱（1）和（2）為含參量的正常積分．類似可定義含參量的正常積分．問1含參量積分是積分還是函數(shù)？它與已學過的積分有什么聯(lián)系？答含參量積分在形式上是積分，但積分值隨參量的取值不同而變化，因此實質上是一個函數(shù)。即含參量正常積分是以積分形式表達的函數(shù)，而不定積分是滿足一定條件的一族函數(shù)，定積分表達的則是一個數(shù)。如果將常數(shù)看作常值函數(shù)，則定積分成為含參量正常積
3、分的特殊情形。含參量積分實質上是函數(shù)，它提供了構造新函數(shù)的一種方法。以前學過的函數(shù)出了表示成因變量是自變量的表達式外，還有變限積分表示、函數(shù)項級數(shù)表示、函數(shù)列表示、用函數(shù)方程或隱函數(shù)等等.二、含參量正常積分的連續(xù)性、可微性與可積性（一）、連續(xù)性定理19.1(連續(xù)性)若二元函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù)．分析設，對充分小的，有（若為區(qū)間端點則考慮或），要證在上連續(xù),只須證在任意上連續(xù),只須證,當時,,即,當時,.要使上式成立，只須.由在上連續(xù)，從而一致連續(xù)可得結果.（同理，若二元函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù)．）定理19.1的結論可
4、寫成：若二元函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù),,(極限運算與積分運算交換順序).定理19.2(連續(xù)性)設二元函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，其中函數(shù)，為上的連續(xù)函數(shù),則函數(shù)，（6）在上的連續(xù)．分析已知定理19.1成立,要證定理19.2,要先進行變量變換,將化為的形式.對用換元積分法,令,當在與之間取值時,在上取值,且,代入得由于被積函數(shù)在上連續(xù),由定理19.1即得結論.（二）、可微性定理19.3(可微性)若函數(shù)與其偏導數(shù)都在矩形區(qū)域上連續(xù)，則函數(shù)在上可微，且.分析要證結論成立,只需證利用函數(shù)與其導數(shù)之間的橋梁－拉格朗日中值定理,利用連續(xù)即可.定理19.4(可微性)若函
5、數(shù)與其偏導數(shù)都在矩形區(qū)域上連續(xù)，，為定義在上其值含于的可微函數(shù)，則在上可微，且.（7）證明把看作復合函數(shù)：,其中，,由復合函數(shù)求導法則及變上限積分的求導法則，有.（三）、可積性定理19.5(可積性)若二元函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，則函數(shù)和分別在和上可積．證明由和的連續(xù)性即知.定理19.6(可積性)若二元函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)，則.應用舉例例1求.解記，由于，，連續(xù)，由定理19.2知在連續(xù),所以.例2計算積分.解考慮含參量積分.顯然,且函數(shù)在上滿足定理19.3的條件,于是,所以另一方面，所以.例3設在的某個鄰域內連續(xù)，驗證當充分小時，函數(shù)的各階導數(shù)存
6、在，且.解及其偏導數(shù)在原點的某方鄰域內連續(xù)，與是由定理19.4可得.同理.如此繼續(xù)下去,求得階導數(shù)為.特別當時有,故.例4求.解因為，,所以.由于函數(shù)在上滿足定理19.6的條件,所以交換積分順序得到.注：從例子中可體會到含參量的正常積分的分析性質對一些困難的積分的求出提供了方便.復習思考題、作業(yè)題：1．根據(jù)本節(jié)的各定理，在一般的區(qū)間上含參量的正常積分的分析性質有些什么樣的結論？2．能否找出更弱的條件使本節(jié)的某些定理仍成立，可否給予證明？作業(yè)：3，4（1）（3），5
