離散數(shù)學(xué)ch8[2]函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù)ppt課件.ppt

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1、離散數(shù)學(xué)第二部分集合論函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù)9/9/202118-2復(fù)合函數(shù)和逆函數(shù)一.復(fù)合函數(shù)二.逆函數(shù)三.單側(cè)逆函數(shù)9/9/20212復(fù)合函數(shù):定義復(fù)合函數(shù)(合成函數(shù))稱為g和f的復(fù)合函數(shù)，或合成函數(shù)設(shè)f：X?Y,g:Y?Z是兩個(gè)函數(shù)，gof={??y(y?Y∧y=f(x)∧z=g(y))記為z=gof(x)則或者z=g(f(x))9/9/20213復(fù)合函數(shù):復(fù)合函數(shù)是函數(shù)復(fù)合函數(shù)是一個(gè)函數(shù)證明：∴?x?X,存在唯一的y?Y,有y=f(x),又∵g是一個(gè)函數(shù)，∴對(duì)y,存在唯一的z?Z,有z=g(y),∴?x?X,∴gof是函數(shù)?！遞是一個(gè)函數(shù)，存在唯一的z?Z,

2、有z=g（f(x)）=gof(x)。9/9/20214復(fù)合函數(shù):復(fù)合函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)：a)若g，f是滿射，則gof是滿射。b)若g，f是單射，則gof是單射。c)若g，f是雙射，則gof是雙射。9/9/20215復(fù)合函數(shù):復(fù)合函數(shù)性質(zhì)a)若g，f是滿射，則gof是滿射證明：設(shè)f:X→Y,g:Y→Z,∴?z?Z,?y?Y,有z=g(y)。又∵f為滿射，∴gof是滿射。性質(zhì)：則gof:X→Z，∵g是滿射，∴對(duì)此y,?x,有y=f(x),即z=gof(x)。9/9/20216復(fù)合函數(shù):復(fù)合函數(shù)性質(zhì)b)若g，f是單射，則gof是單射證明：∴?x1,x2?X,若x1?x2,又∵g為單射

3、，∴g(f(x1))?g(f(x2))∴gof為單射。性質(zhì)：∵f為單射，f(x1)?f(x2)。9/9/20217復(fù)合函數(shù):復(fù)合函數(shù)性質(zhì)證明：即gof為雙射。性質(zhì)：c)若g，f是雙射，則gof是雙射。由a),b)知，若g，f為雙射,即g，f同時(shí)為滿射和雙射,則，gof同時(shí)為滿射和雙射,9/9/20218復(fù)合函數(shù):復(fù)合函數(shù)性質(zhì)例：設(shè)f(x)=x+2,gof(x)hogof(x)=性質(zhì)：均為實(shí)數(shù)集合到實(shí)數(shù)集合的雙射，h(x)=3x，g(x)=x-2,=g(x+2)=(x+2)-2雙射則雙射3x=x9/9/20219復(fù)合函數(shù):復(fù)合函數(shù)性質(zhì)定理：a)若gof是滿射，則g是滿射。b

4、)若gof是單射，則f是單射。c)若gof是雙射，則g是滿射，f是單射。9/9/202110復(fù)合函數(shù):復(fù)合函數(shù)性質(zhì)證明a)：f:X→Y,g:Y→Z,∵gof是滿射，∴?z?Z,?x,有g(shù)(f(x))=z,又∵f是一個(gè)函數(shù)，即?z?Z,?y?Y,有g(shù)(y)=z,∴g是滿射。b),c)省略。定理：對(duì)此x,?y,有y=f(x),9/9/202111復(fù)合函數(shù):常數(shù)函數(shù)和恒等函數(shù)定義若f:X→Y,若f(X)={c},若f:X→X,?x?X,有f(x)=x,則稱f是常數(shù)函數(shù)。稱f是恒等函數(shù)。9/9/202112逆函數(shù):引理引理：證明：設(shè)f={?x?X∧y?Y∧y=f(x)}

5、f={??f}~Ⅰ)證明f是一個(gè)函數(shù)~∴?y?Y,?x?X,有?f,若有x,x`?X,,?f,∴?y?Y,僅有唯一x?X,有?f,~∴f這個(gè)關(guān)系是一個(gè)從Y到X的函數(shù)。~設(shè)f:X→Y是雙射，則f的逆關(guān)系f是一雙射函數(shù)。~∵f是滿射，這與f是單射矛盾。9/9/202113逆函數(shù):引理Ⅱ）證明f是滿射。~?x?X,?y有?f,∴f是滿射。~引理：證明：設(shè)f={?x?X∧y?Y∧y=f(x)}f={??f}~設(shè)f:X→Y是雙射，則f的逆關(guān)系f是一雙射函數(shù)。~f~即?9/

6、9/202114逆函數(shù):引理III)證明f是單射~∵f為滿射，∴?y1,y2?Y,y1?y2,若x1=x2,有y1∴x1?x2.即?y1,y2?Y,有f(y1)=x1?x2=f(y2)~~∴f是單射。~引理：證明：設(shè)f={?x?X∧y?Y∧y=f(x)}f={??f}~設(shè)f:X→Y是雙射，則f的逆關(guān)系f是一雙射函數(shù)。~?x1,x2有f(x1)=y1,f(x2)=y2,=f(x1)=f(x2)=y2與y1?y2矛盾，9/9/202115逆函數(shù):定義逆函數(shù)設(shè)f：X→Y,若有函數(shù)g：Y→X,且gof=Ix,fog=Iy,則稱g為f的逆函數(shù)，記為f-

7、1。注：因?yàn)間of=Ix,而Ix為雙射，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)，知g為滿射，f為單射。因?yàn)閒og=Iy，而Iy為雙射，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)，∴若函數(shù)f有逆函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)f為雙射，知f為滿射，g為單射。且f-1也為雙射。9/9/202116逆函數(shù):性質(zhì)性質(zhì)a)若f為雙射，則（f-1）-1=f。證明：∵（f-1）of=Ix,fo(f-1)=Iy∴（f-1）-1=f∴(gof)–1=f-1og-1b)(gof)–1=f-1og-1證明：設(shè)f:X→Y,g:Y→Z,則gof:X→Z,∵(gof)of-1og-1=goIyog-1=gog-1=Izf-