離散數(shù)學(xué) 函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù)

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1、4.7函數(shù)的復(fù)合與反函數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合的定理函數(shù)復(fù)合的性質(zhì)反函數(shù)反函數(shù)存在的條件反函數(shù)的性質(zhì)由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，兩個函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上就是兩個關(guān)系的合成，因此函數(shù)的合成方法與關(guān)系的合成方法是一致的。由圖可知f和g合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，記為g°f。且g°f={<1,2>,<2,2>,<3,1>}。例如:已知f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，它們所確定的對應(yīng)關(guān)系如圖所示。f={<1,1>,<2,1>,<3,4>}，g={<1,2>,<2,2>,<3,2>,<4,1>}，由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系同，兩個函數(shù)的復(fù)合本

2、質(zhì)上就是兩個關(guān)系的合成。例如設(shè)f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，它對所確定的對應(yīng)關(guān)系如圖所示：如果將函數(shù)f看作是A到B的二元關(guān)系，g看作是B到C的二元關(guān)系，合成后的關(guān)系記為R，它是A到C的二元關(guān)系，記為R=f°g，且R={(x,b),(y,b),(z,a)}.f={,,}，g={<1,b>,<2,b>,<3,b>,<4,a>}，一、復(fù)合函數(shù)的定義設(shè)f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，f和g合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，記為g°f。它是A到C的函數(shù)。當(dāng)a∈A,b∈B,c∈C，且f(a)=b,f(b)=c時

3、，g°f(a)=c.注意：當(dāng)f和g看作是二元關(guān)系時，合成后的關(guān)系記為f°g，但當(dāng)f和g看作是函數(shù)時f和g合成后的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，記為g°f。定理設(shè)F,G是函數(shù),則F°G也是函數(shù),且滿足(1)dom(F°G)={x

4、x∈domF?F(x)∈domG}(2)?x∈dom(F°G)有F°G(x)=F(G(x))例：設(shè)集合A={x,y,z},B={a,b,c,d},C={1,2,3}f是A到B的函數(shù)，g是B到C的函數(shù)，其中f(x)=b,f(y)=c,f(z)=cg(a)=1,g(b)=2,g(c)=1,g(d)=3求復(fù)合函數(shù)g°f。解

5、：由定義可知復(fù)合函數(shù)g°f是A到C的函數(shù)。且g°f(x)=g(f(x))=g(b)=2.g°f(y)=g(f(y))=g(c)=1.g°f(z)=g(f(z))=g(c)=1.推論1設(shè)f：A→B,g：B→C,則f°g：A→C,且?x∈A都有f°g(x)=f(g(x)).推論2設(shè)F,G,H為函數(shù),則(F°G)°H和F°(G°H)都是函數(shù),且(F°G)°H=F°(G°H)由于函數(shù)是一種特殊的二元關(guān)系，而二元關(guān)系的合成可以看作是一種運算，且這種運算滿足結(jié)合律但不滿足交換律。于是有：推論3設(shè)F,G為函數(shù),則F°G和G°F都是函數(shù),且F°G

6、≠G°F函數(shù)復(fù)合運算的性質(zhì)定理設(shè)f：A→B,g：B→C.?(1)如果f和g都是單射函數(shù),則g°f：A→C也是單射的函數(shù).(2)如果f和g都是滿射函數(shù),則g°f：A→C也是滿射的函數(shù).?(3)如果f和g都是雙射函數(shù),則g°f：A→C也是雙射的函數(shù).證(1)?c∈C,由g：B→C的滿射性,?b∈B使得g(b)=c.對這個b,由f：A→B的滿射性，?a∈A使得f(a)=b.由合成定理有g(shù)°f(a)=g(f(a))=g(b)=c從而證明了f°g：A→C是滿射的.二、函數(shù)的逆（反函數(shù)）對于二元關(guān)系R，只要交換所有的有序?qū)?，就能得到逆關(guān)系

7、；但對于函數(shù)f,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到卻不一定是函數(shù)，只有當(dāng)f為雙射函數(shù)時其逆關(guān)系才是函數(shù)。二、反函數(shù)(函數(shù)的逆)但對于函數(shù)f,交換f的所有有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系f?1是二元關(guān)系卻不一定是函數(shù)。如：F={,}，F(xiàn)?1={,}對于二元關(guān)系R，只要交換所有有序?qū)Φ捻樞?，就能得其逆關(guān)系；反函數(shù)存在的條件但對于函數(shù)f,交換所有的有序?qū)Φ玫降哪骊P(guān)系到卻不一定是函數(shù)，只有當(dāng)f為雙射函數(shù)時其逆關(guān)系才是函數(shù)。反函數(shù)的定義及性質(zhì)反函數(shù)的定義：對于雙射函數(shù)f：A→B,稱f?1：B→A是它的反函數(shù).定理設(shè)f：

8、A→B是雙射的,則f?1：B→A也是雙射的.反函數(shù)的性質(zhì)：定理:設(shè)f：A→B是雙射的,則f?1°f=IA,f°f?1=IB對于雙射函數(shù)f：A→A,有f?1°f=f°f?1=IA函數(shù)復(fù)合與反函數(shù)的計算例：設(shè)R是實數(shù)集，且f,g,h是R到R的函數(shù)其中f(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3,求f°g,g°f，(f°g)°h和f°(g°h).解：f°g(x)=f(1+x2)=2+x2g°f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2(f°g)°h(x)=(f°g)°(1+x3)=2+(1+x3)2f°(g°

9、h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2思考：設(shè)f：R→R,g：R→R求f?g,g?f.如果f和g存在反函數(shù),求出它們的反函數(shù).f：R→R不是雙射的,不存在反函數(shù).g：R→R是雙射的,它的反函數(shù)是g?1：R→R,g?1(x)=