化歸和轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)能力統(tǒng)領(lǐng)功能探究

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1、化歸和轉(zhuǎn)化思想數(shù)學(xué)能力統(tǒng)領(lǐng)功能探究  所謂的化歸與轉(zhuǎn)化思想,是指在研究或解決數(shù)學(xué)問題時(shí),借助觀察、聯(lián)想、分析、類比等思維方式,將問題變換歸結(jié)為已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題,進(jìn)而使原問題得到解決的一種解題策略.運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想求解問題時(shí),必須依托對(duì)問題的條件和結(jié)論所進(jìn)行的觀察、分析,發(fā)現(xiàn)二者的聯(lián)系,進(jìn)而合理地將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為其它可以解決的問題,并最終解決原問題.顯而易見,這一過程必須以較高的數(shù)學(xué)思維能力、敏銳的數(shù)學(xué)判斷能力以及全面的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力為基礎(chǔ)的.這無疑意味著,化歸與轉(zhuǎn)化思想的合理與正確運(yùn)用是以“空間想像能力”、“抽象概括能力”、“推理論證能力”

2、、“運(yùn)算求解能力”、“數(shù)據(jù)處理能力”、“應(yīng)用意識(shí)”以及“創(chuàng)新意識(shí)”等數(shù)學(xué)能力的合理與正確運(yùn)用為基礎(chǔ)的.換言之,化歸與轉(zhuǎn)化思想當(dāng)可視為上述各種數(shù)學(xué)能力的“統(tǒng)領(lǐng)者”,其運(yùn)用當(dāng)可作為上述各種數(shù)學(xué)能力運(yùn)用的“共生體”.1化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋空間想象能力的運(yùn)用7在求解立體幾何問題時(shí),無論圖形是否已經(jīng)給出,解題者都必須根據(jù)已知條件,通過想像將文字語言和符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言,進(jìn)而在大腦中得到圖形中的幾何元素的正確位置關(guān)系及彼此之間存在的數(shù)量關(guān)系,并據(jù)此對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q.這一過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了數(shù)與形、形與形的相互轉(zhuǎn)化,因而能夠同時(shí)有效地體現(xiàn)

3、化歸與轉(zhuǎn)化思想和空間想像能力的運(yùn)用.應(yīng)該注意到,這些轉(zhuǎn)化過程沒有較高的空間想像能力是難以進(jìn)行的,而依據(jù)題意對(duì)圖形進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化,正是空間想像能力的高層次表現(xiàn).2化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋抽象概括能力的運(yùn)用抽象概括能力就是從具體的、生動(dòng)的實(shí)例,在抽象概括的過程中,發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì);從給定的大量信息材料中,概括出一些結(jié)論,并能應(yīng)用于解決問題或作出新的判斷.它包含對(duì)數(shù)學(xué)模式和方法的概括能力,以及從現(xiàn)實(shí)問題中概括出具體的數(shù)學(xué)模型的能力.本題求解所需的主要思維方式是探索性思維,化一般為特殊,進(jìn)而在動(dòng)手操作的過程中尋找規(guī)律,其思路的隱蔽性很高,考查了考生的直覺思維和

4、邏輯思維,體現(xiàn)了從一般到特殊、從抽象到具體的思維過程,也同時(shí)體現(xiàn)了考生推理論證能力的水平.4化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋運(yùn)算求解能力的運(yùn)用7運(yùn)算求解能力的運(yùn)用,主要體現(xiàn)在運(yùn)算方法的合理性、運(yùn)算過程的簡捷性和運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性等方面上,這就使得運(yùn)算求解能力的運(yùn)用必然伴隨著數(shù)與形關(guān)系的發(fā)現(xiàn)、函數(shù)與方程聯(lián)系的挖掘、以及恰當(dāng)變形方向的確定.而這也就意味著運(yùn)算求解能力的運(yùn)用必然和化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用相伴隨.若能注意到f(x)有零點(diǎn)1和?1,則由其圖象關(guān)于直線x=?2對(duì)稱,可知另兩個(gè)零點(diǎn)必為?3和?5,從而f(x)=?(x+1)(x?1)(x+3)(x+5).在求函數(shù)f

5、(x)的最大值時(shí),常規(guī)的工具是直接對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),但于本題而言,此法難行,原因在于如此得出的方程f′(x)=0很難求解.本題充分體現(xiàn)了多思少算的解題策略,不僅可以考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,而且可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維,在解題過程中運(yùn)用了特殊化、平移、等價(jià)轉(zhuǎn)化等策略,從而縮短運(yùn)算過程或改變運(yùn)算方式,使復(fù)雜的運(yùn)算問題變得簡單,達(dá)到多思少算的良好效果.這解題過程都需要解題者在腦海中思考并搜索平時(shí)所學(xué)的知識(shí)方法尋找最可行、最有效的運(yùn)算途徑,求解結(jié)果正確與否無疑與解題者運(yùn)算求解能力的高低、化歸與轉(zhuǎn)化思想理解程度的高低成正相關(guān)關(guān)系.5化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋數(shù)據(jù)

6、處理能力的運(yùn)用7數(shù)據(jù)處理能力包含“會(huì)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù),能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問題有用的信息,并作出判斷.”這種能力體現(xiàn)了從特殊到一般,具體到抽象、或然到必然的轉(zhuǎn)化過程,還蘊(yùn)含著對(duì)數(shù)學(xué)模型的判斷和擬合的化歸過程.例5(2012年高考新課標(biāo)全國卷·理18)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花做垃圾處理.(I)看花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式.(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:以1

7、00天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(?。┤艋ǖ暌惶熨忂M(jìn)16枝玫瑰花,x表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求x的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;(ⅱ)若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝?評(píng)析7本題以具有現(xiàn)實(shí)性的問題情境為背景,平和地將分段函數(shù)與概率知識(shí)的交匯在一起.解題時(shí)必須能夠洞察具體的數(shù)據(jù)之中所蘊(yùn)含的信息,并將其轉(zhuǎn)化為解決問題的工具.顯見,這種“感知數(shù)據(jù)”、“認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)”、“探索與發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的過程,不僅可以體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想在概率與統(tǒng)計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用,還同時(shí)體現(xiàn)解題者數(shù)據(jù)處理能力的高低.6化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋應(yīng)用意

8、識(shí)的運(yùn)用應(yīng)用意識(shí)的主要體現(xiàn)是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景,提煉

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