化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)解題能力思考看法

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1、化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)解題能力思考看法  著名的數(shù)學(xué)家,莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出:“解題就是把要解的題化歸轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”?;瘹w轉(zhuǎn)化就是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)的解題過程,就是通過不斷的化歸轉(zhuǎn)化,從未知向已知、從不規(guī)范向規(guī)范、從復(fù)雜向簡單的化歸轉(zhuǎn)化過程。歷年高考,化歸轉(zhuǎn)化思想無處不見,化歸方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中是普遍存在,到處可見,與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)。本文就教學(xué)實踐中如何強化化歸轉(zhuǎn)

2、化思想,提高數(shù)學(xué)解題能力談一些粗淺的看法?! ∫弧⒒瘹w轉(zhuǎn)化的目標(biāo)和方向  同一個數(shù)學(xué)問題,由于觀察的角度不同,對問題的分析、理解的層次不同,可以導(dǎo)致轉(zhuǎn)化目標(biāo)的不同與解題方法的不同.但目的只有一個,化歸轉(zhuǎn)化后所得出的問題,應(yīng)是已經(jīng)解決或是較為容易解決的問題。因此,化歸轉(zhuǎn)化的方向應(yīng)是盡量做到化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體.而化歸轉(zhuǎn)化的思想實質(zhì)就在于不應(yīng)以靜止的眼光,而應(yīng)以運動、變化、發(fā)展以及事物間的相互聯(lián)系和制約的觀點去看待問題。即應(yīng)當(dāng)善于對所要解決的問題進(jìn)行變

3、形和轉(zhuǎn)化,這實際上也是在數(shù)學(xué)教學(xué)中辨證唯物主義觀點的生動體現(xiàn)。  二、化歸轉(zhuǎn)化的等價性與不等價性  化歸轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化兩種.等價轉(zhuǎn)化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;它可以在宏觀上進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,如在分析和解決實際問題的過程中,普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯;它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換即恒等變形。等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過

4、程中的前因后果是互相可逆推的.但事實上并不是所有的轉(zhuǎn)化都是等價的,因此在轉(zhuǎn)化過程中,一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價性,如出現(xiàn)不等價轉(zhuǎn)化,則需附加約束條件,而在非等價轉(zhuǎn)化過程中常常會產(chǎn)生思維的閃光點,是找到解決問題的突破口.在數(shù)學(xué)操作中實施等價轉(zhuǎn)化時,我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則,即把我們遇到的問題,通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理;或者將較為繁瑣復(fù)雜的問題變成比較簡單的問題,比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等;或者比較抽象的問題,轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題,以便準(zhǔn)確把

5、握問題的求解過程,比如數(shù)形結(jié)合法;或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作,轉(zhuǎn)化過程省時省力,有如順?biāo)浦郏?jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想,可以提高解題的水平和能力?! ∪?、化歸轉(zhuǎn)化的方法  化歸轉(zhuǎn)化方法有分割法、映射法、恒等變形法、換元法、函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等等,  (1)分割法  在幾何教學(xué)中,常常對復(fù)雜的幾何圖形或幾何體進(jìn)行分割,使之成為簡單的幾何圖形或幾何體的組合。這是幾何中實現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化的常用方法?! ±?如圖三棱柱ABC—A1B1C1中,若E,F分別為AB,AC的中點,平面  多面

6、體BEFC—B1C1是不規(guī)則幾何體,只有利用割補法用三棱柱ABC—A1B1C1的體積減去三棱臺AEF—A1B1C1的體積才能解決,割補法是求解立體幾何問題的重要方法,在高考中也多次出現(xiàn)?! B1C1F將三棱柱分成體積為V1,V2兩部分,求V1:V2.  換元法:解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡

7、單化,變得容易處理。換元變形法用處很多,化簡代數(shù)式如使用換元法可以簡化計算過程,分解因式時使用換元法可以減少項數(shù),便于發(fā)現(xiàn)關(guān)系,解方程時有些分式方程,指數(shù)方程和對數(shù)方程通過換元可以變成整式方程。有些高次方程通過換元可以達(dá)到降次的目的,有些無理方程通過換元可以去掉或減少根號。證明條件等式時,使用換元容易發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式之間的聯(lián)系。通過換元引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來??傊畵Q元變形法用處十分廣泛,學(xué)生應(yīng)該熟練掌握在解題實踐中靈活地、創(chuàng)造性地

8、去運用。  (3)映射法:學(xué)習(xí)了集合與映射后用映射來定義函數(shù),而把反函數(shù)的概念建立在一一映射的基礎(chǔ)上,而確定反函數(shù)y=f(x)的映射是一個從原函數(shù)值域集合到定義域集合上的一個一一映射。映射法是實現(xiàn)化歸的一種重要方法,如由于建立了直角坐標(biāo)系,使平面上的點與有序?qū)崝?shù)對,曲線與方程建立了對應(yīng)關(guān)系,幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。此外復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點、向量也建立起一一對應(yīng)關(guān)系,把向量引進(jìn)了代數(shù),使復(fù)數(shù)的代表運算可用向量的幾何運算來進(jìn)行。  例:已知f(x)=10x-1-2,則f-1(8)等于  

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