化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)解題能力思考看法

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1、化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)解題能力思考看法  著名的數(shù)學(xué)家,莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出:“解題就是把要解的題化歸轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題”?;瘹w轉(zhuǎn)化就是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)的解題過(guò)程,就是通過(guò)不斷的化歸轉(zhuǎn)化,從未知向已知、從不規(guī)范向規(guī)范、從復(fù)雜向簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)化過(guò)程。歷年高考,化歸轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不見,化歸方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中是普遍存在,到處可見,與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)。本文就教學(xué)實(shí)踐中如何強(qiáng)化化歸轉(zhuǎn)化思想,提高數(shù)學(xué)解題能力談一些粗淺的看法。 一、化歸

2、轉(zhuǎn)化的目標(biāo)和方向   同一個(gè)數(shù)學(xué)問題,由于觀察的角度不同,對(duì)問題的分析、理解的層次不同,可以導(dǎo)致轉(zhuǎn)化目標(biāo)的不同與解題方法的不同.但目的只有一個(gè),化歸轉(zhuǎn)化后所得出的問題,應(yīng)是已經(jīng)解決或是較為容易解決的問題。因此,化歸轉(zhuǎn)化的方向應(yīng)是盡量做到化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體.而化歸轉(zhuǎn)化的思想實(shí)質(zhì)就在于不應(yīng)以靜止的眼光,而應(yīng)以運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展以及事物間的相互聯(lián)系和制約的觀點(diǎn)去看待問題。即應(yīng)當(dāng)善于對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)化,這實(shí)際上也是在數(shù)學(xué)教學(xué)中辨證唯物主義觀點(diǎn)的生動(dòng)體現(xiàn)。 二、化歸轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與不等價(jià)性   化歸

3、轉(zhuǎn)化包括等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化兩種.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí),沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,如在分析和解決實(shí)際問題的過(guò)程中,普通語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯;它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換即恒等變形。等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中的前因后果是互相可逆推的.但事實(shí)上并不是所有的轉(zhuǎn)化都是等價(jià)的,因此在轉(zhuǎn)化過(guò)程中,一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性,如出現(xiàn)不等價(jià)轉(zhuǎn)化,則需附加約束條件,而在非等

4、價(jià)轉(zhuǎn)化過(guò)程中常常會(huì)產(chǎn)生思維的閃光點(diǎn),是找到解決問題的突破口.在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí),我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則,即把我們遇到的問題,通過(guò)轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來(lái)處理;或者將較為繁瑣復(fù)雜的問題變成比較簡(jiǎn)單的問題,比如從超越式到代數(shù)式、從無(wú)理式到有理式、從分式到整式等;或者比較抽象的問題,轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題,以便準(zhǔn)確把握問題的求解過(guò)程,比如數(shù)形結(jié)合法;或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作,轉(zhuǎn)化過(guò)程省時(shí)省力,有如順?biāo)浦?,?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,可以提高解題的水平和能力。 三、化歸轉(zhuǎn)化的方法   化歸轉(zhuǎn)化方

5、法有分割法、映射法、恒等變形法、換元法、函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等等, (1)分割法   在幾何教學(xué)中,常常對(duì)復(fù)雜的幾何圖形或幾何體進(jìn)行分割,使之成為簡(jiǎn)單的幾何圖形或幾何體的組合。這是幾何中實(shí)現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化的常用方法。   例1如圖三棱柱ABC—A1B1C1中,若E,F分別為AB,AC的中點(diǎn),平面   多面體BEFC—B1C1是不規(guī)則幾何體,只有利用割補(bǔ)法用三棱柱ABC—A1B1C1的體積減去三棱臺(tái)AEF—A1B1C1的體積才能解決,割補(bǔ)法是求解立體幾何問題的重要方法,在高考中也多次出現(xiàn)。   EB1C1F將三棱柱分成體積為V1,V2兩部分,求V1:V2.

6、   換元法:解數(shù)學(xué)題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問題得到簡(jiǎn)化,這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,變得容易處理。換元變形法用處很多,化簡(jiǎn)代數(shù)式如使用換元法可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,分解因式時(shí)使用換元法可以減少項(xiàng)數(shù),便于發(fā)現(xiàn)關(guān)系,解方程時(shí)有些分式方程,指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程通過(guò)換元可以變成整式方程。有些高次方程通過(guò)換元可以達(dá)到降次的目的,有些無(wú)理方程通過(guò)換元可以去掉或減少根號(hào)。證明條件等式時(shí),使用換元容易

7、發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式之間的聯(lián)系。通過(guò)換元引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái),隱含的條件顯露出來(lái),或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。總之換元變形法用處十分廣泛,學(xué)生應(yīng)該熟練掌握在解題實(shí)踐中靈活地、創(chuàng)造性地去運(yùn)用。   (3)映射法:學(xué)習(xí)了集合與映射后用映射來(lái)定義函數(shù),而把反函數(shù)的概念建立在一一映射的基礎(chǔ)上,而確定反函數(shù)y=f(x)的映射是一個(gè)從原函數(shù)值域集合到定義域集合上的一個(gè)一一映射。映射法是實(shí)現(xiàn)化歸的一種重要方法,如由于建立了直角坐標(biāo)系,使平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì),曲線與方程建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系,幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。此外復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)、向量也建立起

8、一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,把向量引進(jìn)了代數(shù),使復(fù)數(shù)的代表運(yùn)算可用向量的幾何運(yùn)算來(lái)進(jìn)行。   例:已知f(x)=10x-1-2,則f-1

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