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1、單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)第二章2021/8/221《振動(dòng)力學(xué)》教學(xué)內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)引言無阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用22.1引言2021/8/223《振動(dòng)力學(xué)》mkmmh0l/2l/2x靜平衡位置4mxcel=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfzxfkcmx05為了完全確定系統(tǒng)在給定時(shí)刻的狀態(tài)所需要獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)，只需一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就能確定結(jié)構(gòu)的位置?？梢杂贸Ｏ禂?shù)的二階線性常微分方程來描述它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)理論和方法是多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體系統(tǒng)振動(dòng)理論和方法的基礎(chǔ)。只有一個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)成為單自由度系統(tǒng)。
2、62.2單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)2021/8/227《振動(dòng)力學(xué)》固有振動(dòng)或自由振動(dòng)微分方程：令：?jiǎn)挝唬夯《?秒（rad/s）則：通解：固有頻率復(fù)習(xí)：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)自由振動(dòng)－無阻尼自由振動(dòng)令算得本征值導(dǎo)出本征方程零時(shí)刻的初始條件：零初始條件下的自由振動(dòng)：8建立單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的一般步驟：1、取定一個(gè)坐標(biāo)系以描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)為靜平衡時(shí)質(zhì)量所在位置2、設(shè)質(zhì)量沿坐標(biāo)正向有一移動(dòng)，考察質(zhì)量的受力情況，畫出隔離體的受力簡(jiǎn)圖3、按牛頓第二定律寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，，在振動(dòng)分析中，通常把系統(tǒng)組成元件作用在質(zhì)量上的力，即系統(tǒng)的內(nèi)力寫在方程左邊，外界激勵(lì)寫在右邊。第2章單自由度系
3、統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)4、確定系統(tǒng)初始的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即初始條件，2.2.1運(yùn)動(dòng)微分方程9例1：提升機(jī)系統(tǒng)重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時(shí)，（1）重物的振動(dòng)頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力。Wv第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)10重物的運(yùn)動(dòng)微分方程為：系統(tǒng)的固有頻率：方程的解：系統(tǒng)的初始條件：將初始條件代入解中，有：得：第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)11振動(dòng)解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度Wv第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)1
4、2例2：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)斜面傾角300質(zhì)量m=1kg彈簧剛度k=49N/cm開始時(shí)彈簧無伸長(zhǎng)，且速度為零求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。m300重力加速度取9.8第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)13解：以質(zhì)量靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下方向建立坐標(biāo)系。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：m300振動(dòng)固有頻率：方程的解：第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)14振動(dòng)初始條件：考慮方向初始速度：運(yùn)動(dòng)方程：m300將初始條件代入解中，有：第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)15例3：圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置。扭振固有頻率為軸
5、的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程：第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)16例4：復(fù)擺剛體質(zhì)量m對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量重心C求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率。a0C第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)17解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程：因?yàn)槲⒄駝?dòng)：則有：固有頻率：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法。若已測(cè)出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：a0C第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)18無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動(dòng)能ET和勢(shì)能U之和保持不變，始終等于初始時(shí)刻的總機(jī)械能。第2
6、章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)19結(jié)論：◆單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅和初相位取決于初始條件和系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量，運(yùn)動(dòng)的中點(diǎn)就是系統(tǒng)的靜平衡位置◆振動(dòng)的頻率只與系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量有關(guān)。通常稱為系統(tǒng)的固有頻率◆與成正比，而與成反比。因此當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量不變而剛度增加時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率增大?！粽駝?dòng)得以維持的原因是系統(tǒng)由儲(chǔ)存動(dòng)能的慣性元件和儲(chǔ)存勢(shì)能的彈性元件，由于不考慮能量耗散、無阻尼自由振動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒，機(jī)械能的大小取決于初始條件和系統(tǒng)參數(shù)。振動(dòng)時(shí)動(dòng)能、勢(shì)能不斷相互轉(zhuǎn)換，因此勢(shì)能有一個(gè)最小值，使勢(shì)能最小值的位置正是系統(tǒng)的靜平衡位置。系統(tǒng)由穩(wěn)定的平衡位置，其動(dòng)能和勢(shì)能
7、可以相互轉(zhuǎn)化，在外界的激勵(lì)下，才能產(chǎn)生振動(dòng)。振動(dòng)總是在平衡位置附近進(jìn)行。第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)202.2.2求固有頻率的方法1.靜態(tài)位移法mk系統(tǒng)靜止時(shí)，在重力作用下彈簧伸長(zhǎng)，根據(jù)胡克定律，有第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)21例：重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞梁長(zhǎng)L，抗彎剛度EJ求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度。mh0l/2l/2第2章單自由度系統(tǒng)2.2無阻尼自由振動(dòng)22解：由材料力學(xué)：自由振動(dòng)頻率為：取平衡位置以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。靜變形mh0l/2l/2x靜平衡位置第2章
