2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案

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1、2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1．若，則的值為（???）．（A）???????（B）??????（C）??????（D）解：???由題設(shè)得．代數(shù)式變形，同除b2．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是（????）．（A）a???（B）a4???（C）a≤或a≥4??（D）≤a≤4解．C因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式??≥0,解得a≤或a≥4．方程思想，判別式定理；要解一元二次不等式3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠

2、C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長(zhǎng)為（??）．（A）????????（B）（C）??????（D）解：D如圖，過點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．由已知可得BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是EF＝4＋．過點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得AD＝．勾股定理、涉及雙重二次根式的化簡(jiǎn)，補(bǔ)全圖形法4．在一列數(shù)……中，已知，且當(dāng)k≥2時(shí)，（取整符號(hào)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（???）．(A)1?????????(B)2??????????(C)3???????????(D)4解：B由和可得，，，，，，，，……

3、因?yàn)?010=4×502+2，所以=2．高斯函數(shù)；找規(guī)律。5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4，……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2，…，則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是（???）．??????????????????（A）（2010，2）（B）（2010，）（C）（2012，）?（D）（0，2）解：B由已知可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，

4、）．記，其中．根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，依次可以求得：，，，．令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）．二、填空題6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于????????????．?解：0?由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時(shí)刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再

5、過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝????????????．解：15設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，??????????????①，?????????????②??????．??????????????③由①②，得，所以，x=30．??????故（分）．???8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直

6、線l的函數(shù)表達(dá)式是?????????????．?解：如圖，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點(diǎn)N．由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因?yàn)辄c(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．于是，直線即為所求的直線．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則解得,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則???

7、?????．?解：見題圖，設(shè)．因?yàn)镽t△AFB∽R(shí)t△ABC，所以．又因?yàn)镕C＝DC＝AB，所以即????，解得，或（舍去）．又Rt△∽R(shí)t△，所以，?即=．10．對(duì)于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為????????????．解：?????因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為．?三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊