初中幾何模型與解法--瓜豆原理

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初中幾何模型與解法——瓜豆原理例1、如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是什么？點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關系？【分析】考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放．例2、如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？

1Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．例3、如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．

2【模型要素】為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．【條件】兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關系相當于旋轉(zhuǎn)+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．思考1如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊△APQ．考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】Q點滿足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點軌跡是個圓：考慮∠PAQ=60°，可得Q點軌跡圓圓心M滿足∠MAO=60°；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．

3【小結】可以理解AQ由AP旋轉(zhuǎn)得來，故圓M亦由圓O旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數(shù)量關系．思考2如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ．考慮：當點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡？【分析】Q點滿足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根號2：1，故Q點軌跡是個圓．連接AO，構造∠OAM=45°且AO:AM=根號2：1．M點即為Q點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有△AOP∽△AMQ．即可確定點Q的軌跡圓．

4真題戰(zhàn)場1．如圖，點P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．2．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根號2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．3．如圖，正方形ABCD中，AB=2倍根號5，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．4．△ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為______．

5【真題解析】1．【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點．考慮C是BM中點，可知C點軌跡：取BP中點O，以O為圓心，OC為半徑作圓，即為點C軌跡．當A、C、O三點共線且點C在線段OA上時，AC取到最小值，根據(jù)B、P坐標求O，利用兩點間距離公式求得OA，再減去OC即可．2．【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點，可確定M點軌跡：取AB中點O，連接CO取CO中點D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點，則弧EF即為M點軌跡．當然，若能理解M點與P點軌跡關系，可直接得到M點的軌跡長為P點軌跡長一半，即可解決問題．3．【分析】E是主動點，F(xiàn)是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓．考慮DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F(xiàn)點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓．直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最?。蓸嬙烊怪比惹缶€段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．

64．【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB，將AC看成動線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值．根據(jù)AC=2，可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓．接下來題目求AO的最大值，所以確定O點軌跡即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O點軌跡也是圓，以AB為斜邊構造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌跡圓圓心．連接AM并延長與圓M交點即為所求的點O，此時AO最大，根據(jù)AB先求AM，再根據(jù)BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO．此題方法也不止這一種，比如可以根據(jù)——等邊共頂點，構造旋轉(zhuǎn)型全等，如下構造旋轉(zhuǎn)，當A、C、A’共線時，可得AO最大值．