3最值系列之瓜豆原理

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1、最值系列之瓜豆原理在輔助圓問題中，我們了解了求關(guān)于動(dòng)點(diǎn)最值問題的方式之一——求出動(dòng)點(diǎn)軌跡，即可求出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的最值．本文繼續(xù)討論另一類動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的最值問題，在此類題目中，題目或許先描述的是動(dòng)點(diǎn)P，但最終問題問的可以是另一點(diǎn)Q，當(dāng)然P、Q之間存在某種聯(lián)系，從P點(diǎn)出發(fā)探討Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡并求出最值，為常規(guī)思路．一、軌跡之圓篇引例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是O

2、P一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AO．Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．17引例2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮AP⊥A

3、Q，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM．引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．17【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”．此類問題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線

4、的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮．古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．17【思考1】：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為一邊作等邊△APQ．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】Q點(diǎn)滿足（1）∠PAQ=60°

5、；（2）AP=AQ，故Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓：考慮∠PAQ=60°，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足∠MAO=60°；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM．【小結(jié)】可以理解AQ由AP旋轉(zhuǎn)得來，故圓M亦由圓O旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數(shù)量關(guān)系．【思考2】如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ．考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何作出Q點(diǎn)軌跡？【分析】Q點(diǎn)滿足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=：1，故Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓．連接AO，構(gòu)造∠OAM=45°且

6、AO:AM=：1．M點(diǎn)即為Q17點(diǎn)軌跡圓圓心，此時(shí)任意時(shí)刻均有△AOP∽△AMQ．即可確定點(diǎn)Q的軌跡圓．【練習(xí)】如圖，點(diǎn)P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是_______．【分析】M點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，C點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)，B點(diǎn)為定點(diǎn)．考慮C是BM中點(diǎn)，可知C點(diǎn)軌跡：取BP中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，即為點(diǎn)C軌跡．當(dāng)A、C、O三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在線段OA上時(shí)，AC取到最小值，根據(jù)B、P坐標(biāo)求O，利用兩點(diǎn)間距離公式求得OA，再減去OC即可．17【2016武漢中考】如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點(diǎn)P在以

7、斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為________．【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點(diǎn)，可確定M點(diǎn)軌跡：取AB中點(diǎn)O，連接CO取CO中點(diǎn)D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn)，則弧EF即為M點(diǎn)軌跡．當(dāng)然，若能理解M點(diǎn)與P點(diǎn)軌跡關(guān)系，可直接得到M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)一半，即可解決問題．【2018南通中考】如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)