重慶市2019屆高三4月（二診）調研測試卷（康德版）文科數學試題 Word版含解析

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2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試重慶市4月調研測試卷（重慶市二診）文科數學試題一、選擇題：在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數（i為虛數單位）的共軛復數為（　　）A.1+iB.1﹣iC.1+2iD.1﹣2i【答案】D【解析】【分析】根據復數的除法求解再判定即可.【詳解】∵＝,∴復數（i為虛數單位）的共軛復數為1﹣2i．故選：D．【點睛】本題主要考查了復數的除法運算與共軛復數的概念,屬于基礎題型.2.已知全集U＝R，集合，，則圖中陰影部分表示的集合是（　?。〢.或B.或C.D.【答案】B【解析】【分析】先判定韋恩圖所表示的集合,再求解即可.【詳解】∵全集U＝R,集合,,∴,∴圖中陰影部分表示的集合是：或．故選：B．【點睛】本題主要考查了韋恩圖的理解以及集合的并集補集的運算等.屬于基礎題型.3.已知向量，，若，則（）A.B.10C.D.12

1【答案】B【解析】【分析】根據即可得出進行數量積的坐標運算即可求出，從而得出的坐標，進而得出的值．【詳解】∵向量，，，∴，∴，∴，∴，∴.故選：B.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，利用向量垂直則數量積為0是解題的關鍵，也是常考點，屬于基礎題.4.已知函數f（x）＝，則f（﹣1）＝（　?。〢.log25B.log26C.3D.2+log23【答案】A【解析】分析】根據分段函數解析式代入計算即可.【詳解】根據題意,函數f（x）＝,則f（﹣1）＝f（2）＝f（5）＝log25；故選：A．【點睛】本題主要考查了分段函數的計算,屬于基礎題型.5.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S11＝22，則a3+a5+a10＝（　?。〢.2B.3C.6D.12【答案】C【解析】【分析】根據等差數列的求和公式與性質求解即可.【詳解】∵等差數列{an}的前n項和為Sn,S11＝22,∴＝11a6,＝22,解得a6＝2,∴a3+a5+a10＝3a6＝6．故選：C．【點睛】本題主要考查了等差數列的性質與求和公式,屬于基礎題型.

26.若用如圖所示的程序框圖尋找使成立的正整數的最小值，則圖中①處應填入（）．A.輸出B.輸出C.輸出D.輸出【答案】B【解析】【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，根據流程圖所示的順序，得出該程序框圖中①應填的內容．【詳解】由程序框圖的功能是使成立的正整數i的最小值，則循環(huán)結束時①中應為i的值.故選：B.【點睛】本題考查程序框圖，根據框圖分析各變量、各語句的作用及題目要求，不難判斷框圖中空白的含義，屬于簡單題.7.中華文化博大精深，我國古代算書《周髀算經》中介紹了用統(tǒng)計概率得到圓周率π的近似值的方法．古代數學家用體現(xiàn)“外圓內方”文化的錢幣（如圖1）做統(tǒng)計，現(xiàn)將其抽象成如圖2所示的圖形，其中圓的半徑為2cm，正方形的邊長為1cm，在圓內隨機取點，若統(tǒng)計得到此點取自陰影部分的概率是P，則圓周率π的近似值為（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據幾何概型的方法分析陰影部分占總面積的比值,列式求解的表達式即可.【詳解】圓形錢幣的半徑為2cm,面積為S圓＝π?22＝4π；正方形邊長為1cm,面積為S＝12＝1．在圓形內隨機取一點,此點取自黑色部分的概率是P＝,則．故選：A．

3【點睛】本題主要考查了幾何概型的方法,需要求解陰影部分面積占總面積的比值,屬于基礎題型.8.函數的部分圖象大致為（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據函數的奇偶性與正負值排除判定即可.【詳解】函數,故函數是奇函數,圖像關于原點對稱,排除B,D,當x＞0且x→0,f（x）＞0,排除A,故選：C．【點睛】本題主要考查了函數圖像的判定,屬于基礎題型.9.若“p∨q”成立的一個必要條件是“￢r”，則下列推理：①p∨q?￢r；②p?￢r；③￢r?q；④（￢p）∧（￢q）?r．其中正確的個數為（　　）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由題意可得p∨q?￢r,再根據“或且非”的性質推出其充要條件再判定即可.【詳解】若“p∨q”成立的一個必要條件是“￢r”,即為p∨q?￢r,?r?￢（p∨q）,?r?（￢p）∧（￢q）,可得①正確④錯誤．又p∨q?￢r,故p?￢r,q?￢r,故②正確,③錯誤故選：B．【點睛】本題主要考查了邏輯聯(lián)結詞的性質與必要條件的辨析,屬于基礎題型.10.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（　?。?/p>

4A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先換元該幾何體,再利用割補法求解體積即可.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為多面體ABCDEF,底面為矩形ABCD,AB＝5,AD＝3．側面CDEF為等腰梯形,EF＝1,側面CDEF⊥底面ABCD,則該幾何體的體積V＝．故選：A．【點睛】本題主要考查了根據三視圖還原直觀圖以及求解不規(guī)則幾何體體積的方法,屬于中等題型.11.已知，，，則（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，又，可得，解得，可求的值.【詳解】，，由．，又，所以

5所以，故選：B.【點睛】本題考查兩角和與差的三角函數公式應用，通過和差公式湊角解出所求角的三角函數值是此類題常用方法，屬于中等題.12.已知函數，若有兩個零點，，則的取值范圍是（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出f（x）的圖象，設，由題意可得有兩個不等實根x1，x2，即為a=x1+1=lnx2，可得為a的函數，求得導數和單調性，可得極小值和最大值，結合圖象可得所求范圍．【詳解】設，即的兩個零點為，，由題作出f（x）圖象，可知，令，，所以，令，，所以有單調遞減，在上單調遞增，，由知，，所以．故選：D.【點睛】本題考查分段函數的應用，解題關鍵是運用數形結合與轉化思想，將問題轉化為新的函數求極值與最值問題，考查綜合分析及轉化思想方法，屬于較難題.

6二、填空題：13.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則______．【答案】.【解析】【分析】由已知利用同角三角函數基本關系式可求sinA的值，根據正弦定理即可得解sinB．【詳解】∵，，，∴，∴由正弦定理，可得：，故答案為：．【點睛】本題考查正弦定理的應用，屬于簡單題.14.設變量，滿足約束條件，則目標函數的最小值是______．【答案】-4.【解析】【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內部，再將目標函數z=3y-x對應的直線進行平移，可得當x=-2且y=-2時，z=3y-x取得最小值．【詳解】作出變量x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內部，其中A（-2，3），C（-2，-2），B（3，）,目標函數z=3y-x，將直線l：z=3y-x進行平移，當l經過點C時，目標函數z達到最小值，

7∴，故答案為：-4．【點睛】本題為簡單線性規(guī)劃問題，根據不等式組作出可行域，根據目標函數確定最值即可，屬于簡單題.15.如圖，圓柱中，兩半徑，等于1，且，異面直線與所成角的正切值為，則該圓柱的體積為______．【答案】【解析】【分析】過作于點，則，由平行等于，且得，所以圓柱的高，圓柱的體積為．詳解】過作于點，則即為異面直線與所成角，則，

8由平行等于，且，可得，得，又,所以圓柱的高，所以圓柱的體積為．故答案為：.【點睛】本題考查圓柱的體積的計算，同時也考查了異面直線所成的角，考查空間推理能力，屬于中等題.16.已知雙曲線的左、右焦點為、，過點的直線與雙曲線的左支交于、兩點，的面積是面積的三倍，，則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】【分析】由的面積是面積的三倍，，可得，可設，，運用雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，化簡可得m=a，再由勾股定理和離心率公式，可得所求值．【詳解】由的面積是面積的三倍，，可得，設，，則，，由，解得，

9則，，再由得．所以雙曲線的離心率，故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的性質應用，求解離心率問題，通過題目找出a、b、c三者之間的等量關系即可，此類問題通常結合焦點三角形的性質，常常利用的關系有直角三角形三邊關系、三角形相似、向量關系、斜率關系等，計算量大，屬于中等難度題.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據要求作答．（一）必考題：17.已知正項數列的前項和為，．（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1），，兩式相減得，化簡得，是公差為1等差數列，再由，利用等差數列的通項公式即可得出;（2），利用等比數列求和及“裂項求和”方法即可得出數列的前項和．【詳解】（1）當，，，兩式相減得，化簡得，即是公差為的等差數列，令，，得，所以．（2），設為數列的前項和，

10．【點睛】本題考查數列的求和、數列遞推式，考查運算求解能力，數列求和的常用方法有：公式求和，裂項求和，錯位相減求和，倒序相加求和等，屬于中等題.18.某農科站技術員為了解某品種樹苗的生長情況，在該批樹苗中隨機抽取一個容量為100的樣本，測量樹苗高度（單位：）．經統(tǒng)計，高度在區(qū)間內，將其按，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中高度不低于的樹苗為優(yōu)質樹苗．附：，其中（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）已知所抽取的這100棵樹苗來自甲、乙兩個地區(qū)，部分數據如下列聯(lián)表所示，將列聯(lián)表補充完整，并根據列聯(lián)表判斷是否有％的把握認為優(yōu)質樹苗與地區(qū)有關？甲地區(qū)乙地區(qū)合計優(yōu)質樹苗5非優(yōu)質樹苗25合計【答案】（1）；（2）表格見解析，有％的把握認為優(yōu)質樹苗與地區(qū)有關．

11【解析】【分析】（1）根據概率的性質可得：（a+3a+0.04+0.07+0.04+a）×5=1，解得a=0.01，（2）根據列聯(lián)表計算觀測值，根據臨界值表可得結論．【詳解】（1）由題，解得．（2）樣本中優(yōu)質樹苗的個數為，所填表格為甲地區(qū)乙地區(qū)合計優(yōu)質樹苗52025非優(yōu)質樹苗502575合計5545100，所以有％的把握認為優(yōu)質樹苗與地區(qū)有關．【點睛】本題考查頻率分布直方圖中概率的計算，獨立性檢驗，考查能否根據頻率分布直方圖解未知數并得出每一組的概率以及根據分層抽樣的原理得出每一組的人數，考查分析能力以及計算，屬于簡單題.19.如圖，在棱長為2的正方體中，為中點，為中點，為上一點，，為中點．（1）證明：平面；（2）求四面體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）1.【解析】【分析】（1）連接，由平行等于，所以為平行四邊形，根據及可證即，又平面，可證，故可證平面；（2）過作交于點，可得平面，因此，求出四面體

12RMNB1體積即可求出四面體PMNB1的體積．【詳解】（1）連接，由平行等于，所以為平行四邊形，，，所以．又，所以，即．在正方體中，平面，又，所以平面，平面，所以，又，所以平面．（2）過作交于點，∵，可得，平面，平面，∴平面，∴，由，所以，，．所以．【點睛】本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面垂直的證明，幾何體體積的計算通常進行轉化成等體積的較容易計算的幾何體，線面垂直通常在面內找兩條相交直線分別與已知直線垂直即可，考查空間想象能力及推理轉化能力，本題屬于中等題.20.如圖，已知，為橢圓短軸的兩個端點，且橢圓的離心率為．

13（1）求橢圓的方程；（2）若經過點的直線與橢圓的另一個交點記為，經過原點且與垂直的直線記為，且直線與直線的交點記為，證明：是定值，并求出這個定值．【答案】（1）；（2）證明見解析，．【解析】【分析】（1）由已知可得關于a，b，c的方程組，求解a，b的值，則橢圓方程可求；（2）設M（，）（≠0），直線的斜率存在，設，與橢圓聯(lián)立，根據根與系數有關系可得，，從而可得，則直線l1的方程，聯(lián)立求得N的坐標，再由數量積的坐標運算可得是定值．【詳解】（1）由題，，結合得，所求橢圓為．（2）由題知直線的斜率存在，設，聯(lián)立橢圓方程得，，，∴，直線，聯(lián)立直線得，所以，∴是定值.

14【點睛】本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關系，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理等求解，屬于?？碱}型，屬中檔題．21.已知函數，．（1）若存在極大值，證明：；（2）若關于的不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）．（x∈（0，+∞））．對a分類討論，即可得出單調性極值．進而證明結論．（2）令h（x）=f（x）+ex-1-1=lnx-ax+a+ex-1-1，x∈[1，+∞），h（1）=0．，，對a分類討論，利用導數研究函數的單調性、極值與最值即可得出．【詳解】（1）當時，，單調遞增，不存在極大值，所以，在上單調遞增，在上單調遞減，的極大值為．設，，在上單調遞減，在上單調遞增，．所以的極大值大于等于0．（2）設，，，所以單調遞增，由知在上單調遞減，在上單調遞增，，，若，則，在恒成立，此時，函數在上單調遞增，，滿足條件．

15若，則，所以存在使得，即在內，有，在上單調遞減，不滿足條件．綜上，．【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明問題，利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值是?？键c，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍，難度較大.（二）選考題：[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數，a∈R），以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝2cosθ（1）求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l過點P（1，1）且與曲線C交于AB兩點，求|PA|+|PB|【答案】（1）l：x+y﹣a＝0，C：y2＝2x；（2）【解析】【分析】(1)消去參數t可得直線l的普通方程,利用極坐標與直角坐標的公式化簡求解可得曲線C的直角坐標方程(2)設直線l的參數方程為,再代入拋物線的方程,利用直線參數方程的幾何意義求解即可.【詳解】（1）由消去參數t可得直線l的普通方程為：x+y﹣a＝0,由ρsin2θ＝2cosθ得ρ2sin2θ＝2ρcosθ可得曲線C的直角坐標方程為：y2＝2x．（2）將P（1,1）代入x+y﹣a＝0可得a＝2,所以直線l的參數方程為（t為參數）

16將其代入曲線C的普通方程得：t2+4﹣2＝0,設A,B對應的參數為t1,t2,則t1+t2＝﹣4,t1t2＝﹣2＜0,∴|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝＝．【點睛】本題主要考查了參數方程與極坐標和直角坐標的互化,同時也考查了直線參數方程的幾何意義,屬于中等題型.[選修4-5：不等式選講]23.設函數f（x）＝|2x﹣3|+|x+2|（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若關于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在區(qū)間[﹣1，2]上恒成立，求實數a的取值范圍【答案】（1）[0，2]；（2）【解析】【分析】(1)分段去絕對值再求解不等式即可.(2)由題意可得可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a恒成立.g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,再分段去絕對值討論g（x）的最大值即可.【詳解】（1）f（x）≤5即|2x﹣3|+|x+2|≤5,當x≥時,2x﹣3+x+2≤5,解得≤x≤2；當﹣2＜x＜時,3﹣2x+x+2≤5,解得0≤x＜；當x≤﹣2時,3﹣2x﹣x﹣2≤5,解得x∈．可得不等式的解集為[0,2]；（2）關于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在區(qū)間[﹣1,2]上恒成立,可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a,設g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,即g（x）＝x+2+|x|+|2x﹣3|,﹣1≤x≤2,當≤x≤2時,g（x）＝x+2+x+2x﹣3＝4x﹣1；當0＜x＜時g（x）＝x+2+x+3﹣2x＝5；當﹣1≤x≤0時,g（x）＝x+2﹣x+3﹣2x＝5﹣2x．可得g（x）的最大值為g（﹣1）＝g（2）＝7,可得a≥7．即a的范圍是．【點睛】本題主要考查了分段討論去絕對值從而求解絕對值不等式的方法,屬于中等題型.