1【詳解】設(shè)，則，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即，所以，故的虛部為3.故選：D.4.羽毛球運(yùn)動(dòng)是我校春季特色體育運(yùn)動(dòng)會(huì)的傳統(tǒng)項(xiàng)目，深受全校師生喜愛(ài)。標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測(cè)得每根羽毛在球托之外的長(zhǎng)為7cm，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面，測(cè)得頂端所圍成圓的直徑是6cm，底部所圍成圓的直徑是2cm，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開(kāi)圖的圓心角為（）A.B.C.D.【答案】C5.如圖，的值為（????）A．B．C．D．答案 B6.我國(guó)的《洛書(shū)》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將1,2，…，9填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，如圖所示．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3，…，n2填入n×n個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做n階幻方．記n階幻方中數(shù)的和即方格內(nèi)的所有數(shù)的和為Sn，如圖三階幻方中數(shù)的和S3＝45，那么S9等于( )A．3321B．361C．99D．33
2答案 A解析 由題意知，S9＝1＋2＋3＋…＋92＝＝3321.7.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為( )A.9B.8C.7D.6答案 B解析 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，兩式相加得a0＋a2＋a4＝8.8.德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，這一問(wèn)題一般的描述是：已知點(diǎn)，是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)在何處時(shí)，最大？問(wèn)題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時(shí)最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，是軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn).若的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為（????）A．2B．3C．或D．2或4【答案】C【分析】根據(jù)米勒定理，當(dāng)最大時(shí)，的外接圓與軸正半軸相切于點(diǎn)；再根據(jù)圓的性質(zhì)得到為等邊三角形，從而求出的值.【詳解】根據(jù)米勒定理，當(dāng)最大時(shí)，的外接圓與軸正半軸相切于點(diǎn).設(shè)的外接圓的圓心為，則，圓的半徑為.因?yàn)闉椋?，即為等邊三角形，所以，即或，解得?故選：C.
39.已知函數(shù)，，則圖象為如圖的函數(shù)可能是 A．B．C．D．【解析】：由圖可知，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則所求函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)，則對(duì)恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．10.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則f(x)在(0,2π)上的零點(diǎn)可能有( )A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)答案 A解析 由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，取k＝0，可得－≤x≤.若f(x)在上單調(diào)遞增，則解得0<ω≤.
4若x∈(0,2π)，則ωx＋∈.設(shè)t＝ωx＋，則t∈，因?yàn)?ωπ＋∈，所以函數(shù)y＝sint在上的零點(diǎn)最多有2個(gè)．11.將《三國(guó)演義》、《西游記》、《水滸傳》、《紅樓夢(mèng)》4本名著全部隨機(jī)分給甲、乙、丙三名同學(xué)，每名同學(xué)至少分得1本，A表示事件：“《三國(guó)演義》分給同學(xué)甲”；B表示事件：“《西游記》分給同學(xué)甲”；C表示事件：“《西游記》分給同學(xué)乙”，則下列結(jié)論正確的是( )A．P(A)P(B)＝P(AB)B．P(A)P(C)＝P(AC)C．P(B|A)＝D．P(C|A)＝答案 D解析 將《三國(guó)演義》、《西游記》、《水滸傳》、《紅樓夢(mèng)》4本名著全部隨機(jī)分給甲、乙、丙三名同學(xué)，共有CA＝36(個(gè))基本事件，事件A包含的基本事件數(shù)為A＋CA＝12，則P(A)＝＝，同理，P(B)＝P(C)＝，事件AB包含的基本事件數(shù)為A＝2，則P(AB)＝＝，事件AC包含的基本事件數(shù)為C＋CC＝5，則P(AC)＝，因?yàn)镻(A)P(B)＝≠P(AB)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)镻(A)P(C)＝≠P(AC)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)镻(B|A)＝＝，故C錯(cuò)誤．因?yàn)镻(C|A)＝＝，故D正確；12.對(duì)于非空實(shí)數(shù)集，記．設(shè)非空實(shí)數(shù)集合，若時(shí)，則
5．現(xiàn)給出以下命題：①對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必有；②對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必有；③對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必有；④對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M、P，必存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，恒有，其中正確的命題是( )A．①③B．①④C．②③D．②④答案 B解析 由已知，為不小于集合中最大值的所有數(shù)構(gòu)成的集合．①因?yàn)椋O(shè)集合M和P中最大值分別為m和p，則，故有；②設(shè)，則，故；③設(shè)，則，故；④令，則對(duì)任意的，，故恒有。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝________.答案 0解析 依題意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.①；②【答案】【解析】可構(gòu)造等比數(shù)列，，則公比為負(fù)數(shù)，，
6取15.經(jīng)過(guò)橢圓＋y2＝1中心的直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在第一象限)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，設(shè)直線NE與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則∠NMP的大小為_(kāi)_______．【答案】.【詳解】設(shè)M(x1，y1)(x1>0，y1>0)，P(x0，y0)，則N(－x1，－y1)，E(x1，0)，所以kMN＝，kPN＝kEN＝＝，kPM＝，kPN×kPM＝·＝＝－，所以kPN＝－＝，所以kPM＝－.所以kMN×kPM＝×＝－1，所以MN⊥MP，所以∠NMP=?.16.已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的高為，兩個(gè)底面均為邊長(zhǎng)為1的正方形，過(guò)BD1作平面α分別交棱AA1，CC1于E，F(xiàn)，則四邊形BFD1E面積的最小值為_(kāi)_______.答案 解析 法一 根據(jù)題意作圖，如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD1交BD1于H，設(shè)FH＝h.由題意得BD1＝2.因?yàn)殚L(zhǎng)方體對(duì)面平行，所以截面BFD1E為平行四邊形，則S四邊形BFD1E＝2S△BFD1＝2×BD1·h＝2h，當(dāng)h取最小值時(shí)四邊形BFD1E的面積最小.易知h的最小值為直線CC1與直線BD1間的距離.
7易知當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí)，h取得最小值，hmin＝，(S四邊形BFD1E)min＝2×＝.故四邊形BFD1E面積的最小值為.法二 (射影面積法)設(shè)平面BFD1E與底面ABCD的交線為l.如圖所示，過(guò)D1作D1H⊥l于H.連接DH，則∠D1HD為二面角D1－l－D的平面角，設(shè)為θ.根據(jù)射影面積公式S四邊形BFD1E·cosθ＝S四邊形ABCD，得S四邊形BFD1E＝，則當(dāng)cosθ最大時(shí)，S四邊形BFD1E最小.當(dāng)cosθ最大時(shí)，分析易知DH最長(zhǎng).又DH最長(zhǎng)為DB＝，所以cosθ最大值為，因?yàn)镾四邊形ABCD＝1，所以四邊形BFD1E面積的最小值為.點(diǎn)津突破 1.破解本題的關(guān)鍵是探求點(diǎn)F到BD1的距離的最小值，即尋找點(diǎn)F在何處時(shí)FH與CC1，BD1同時(shí)垂直.2.如圖所示，AD⊥平面α，∠AHD＝θ是二面角A－BC－D的平面角，由cosθ＝，可得△ABC的面積、△ABC在過(guò)其底邊BC的平面α上的射影△DBC的面積及θ之間的關(guān)系：S△DBC＝S△ABC·cosθ，本題用射影面積法找截面與底面所成二面角的最小角是關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝
8BC＝2，CC1＝3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M為棱A1B1的中點(diǎn)．(1)求證：C1M⊥B1D；(2)求二面角B－B1E－D的正弦值。(1)證明 如圖，依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)．則＝(1,1,0)，＝(2，－2，－2)，∵·＝2－2＋0＝0，∴C1M⊥B1D.(2)解 依題意，＝(2,0,0)是平面BB1E的一個(gè)法向量，＝(0,2,1)，＝(2,0，－1)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面DB1E的法向量，則即不妨設(shè)x＝1，可得n＝(1，－1,2)．∴cos〈，n〉＝＝，∴sin〈，n〉＝＝.∴二面角B－B1E－D的正弦值為.18.如圖是某企業(yè)2016年至2022年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2016～2022.
9(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y和t的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于t的回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年該企業(yè)的污水凈化量；(2)請(qǐng)用相關(guān)指數(shù)說(shuō)明回歸方程預(yù)報(bào)的效果．參考數(shù)據(jù)：＝54，(ti－)(yi－)＝21，≈3.74，(yi－i)2＝.參考公式：線性回歸方程＝＋t，＝，＝－.相關(guān)指數(shù)：R2＝1－．解 (1)由折線圖中的數(shù)據(jù)得＝54，＝＝＝，所以＝－＝54－×4＝51，所以y關(guān)于t的線性回歸方程為＝t＋＝t＋51.將2025年對(duì)應(yīng)的t＝10代入得＝×10＋51＝58.5，所以預(yù)測(cè)2025年該企業(yè)污水凈化量約為58.5噸．(2)因?yàn)镽2＝1－＝1－×＝1－＝＝0.875，所以“污水凈化量的差異”有87.5%是由年份引起的，說(shuō)明回歸方程預(yù)報(bào)的效果是良好的．19.（本題滿分12分）在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，，，．（1）求；（2）若，求△ABC內(nèi)切圓的半徑.
10解：（1）設(shè)，∴，，在△ADC中，由正弦定理可得，在△ABD中，，又，所以，∴，∴，∴．（2）∵，∴，又易知為銳角，∴，∴，，∵，∴，∴△ABD中，，又，在△ABC中，由余弦定理可得，∴．設(shè)△ABD的內(nèi)切圓半徑為r，則，則20.（本題滿分12分）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．（1）當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）（法1）設(shè)，，．聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達(dá)定理，得，．
11所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．（法2）設(shè)，，．（?。┊?dāng)時(shí)，易得．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，由，兩式相減，整理得．而，，，所以，即．綜上，點(diǎn)M的軌跡方程為（除去的一段）．（2）（法1）雙曲線E的漸近線方程為．設(shè)，，聯(lián)立得，同理可得，因?yàn)椋?，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．所以，A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．即，．而，．
12所以，，解得，所以，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．（法2）雙曲線的漸近線方程為．設(shè)，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的漸近線方程，得，消去y，得．由韋達(dá)定理，得線段CD的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為．所以，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．所以，A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．所以，，解得，所以，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．21.（本題滿分12分）已知函數(shù)（1）若求在區(qū)間上的值域；（2）若有唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）當(dāng)時(shí)，·····2分在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減·····5分（2）有唯一極值點(diǎn)有唯一變號(hào)零點(diǎn)
13有唯一變號(hào)零點(diǎn)有唯一變號(hào)零點(diǎn)·····7分當(dāng)時(shí)，顯然成立；·····8分當(dāng)且時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不可能僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)；·····10分當(dāng)時(shí)，（）僅在上有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)綜上，·····12分22.（本題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)曲線的極坐標(biāo)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于原點(diǎn)），且，若曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值.【詳解】（1）由曲線（為參數(shù)），消去參數(shù)，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.又由，得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為.由曲線，得，即，
14所以曲線的普通方程為.（2）由題意，設(shè)，則，又曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故為點(diǎn)到直線的距離，由曲線的極坐標(biāo)方程，得，所以，，所以，即，所以；又，所以，即所求實(shí)數(shù)的值為.
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