全錯位排列

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全錯位排列?先看下面例子：?例15個人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少種不同的站法。?這個問題在高中很多參考書上都有，有幾種解法，其中一解法是用排除法：?先考慮5個有的全排列，有A55種不同的排法，然后除去甲排第一（有A44種）與乙排第二（也有A44種），但兩種又有重復(fù)部分，因此多減，必須加上多減部分，這樣得到共有：A55－2A44＋A33＝78種。?現(xiàn)在考慮：?例25個人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少種不同的站法。?仿上分析可得：A55－3A44＋3A33－A22＝64種?這與全錯位排列很相似。?全錯位排列——即n個元素全部都不在相應(yīng)位置的排列?？聪旅娴膯栴}?例35個人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，共有多少種不同的站法。?解析：上面例1，例2實際上可以看成n個不同元素中有m（m≤n）不排在相應(yīng)位置。?公式一：n個不同元素排成一排，有m個元素（m≤n）不排在相應(yīng)位置的排列種數(shù)共有：從而這個問題可能用上面的公式得出：?這個公式在n＝m時亦成立A55－C(5,1)?A44＋C(5,2)?A33－C(5,3)?A22＋C(5,4)?A11－C(5,5)?A00＝44種?（注意A00＝0!＝1）?再看1993年高考題：?同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來。然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡。則四張賀年卡不同的分配方式有?(A)6種　　　　　　(B)9種　　　　　　　(C)11種　　　　　　(D)23種?解析：由上面公式得：?A44－C(4,1)?A33＋C(4,2)?A22－C(4,3)?A11＋C(4,4)?A00＝9種，∴選擇B答案?因此可得到全錯位排列的公式：?n個不同元素排成一排，第一個元素不在第一位，第二個元素不在第二位，……，第n個元素不在第n位的排列數(shù)為：?這實際上是公式一的特殊情況。這個公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的問題，都可以用這個公式很快得到解決，希望這個公式對大家有所幫助?將n個編號為1、2、3...n的小球投入到編號為1、2、3...n的n個盒子中，其中第i號球不投到第i號盒子中（i＝1,2,3,...n）的投法數(shù)為全錯排列問題.這個問題是由瑞士的數(shù)學(xué)家歐拉解決的，公式為：其中n≥2。?

12009年12月02日　　排列組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，稍不注意，極易出錯.本文選擇一些在教學(xué)中學(xué)生常見的錯誤進(jìn)行正誤解析，以饗讀者.?　　1沒有理解兩個基本原理出錯?　　排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.?　　例1（1995年上海高考題）從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有種.?　　誤解：因為可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法.?　　錯因分析：誤解的原因在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.?　　正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法.同理，完成第二類辦法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有種方法.?　　例2在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（）種.　　（A）（B）（C）（D）?　　誤解：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A.?　　錯因分析：誤解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.?　　正解：四項比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種.?　　說明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得.這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.?　　2判斷不出是排列還是組合出錯?　　在判斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.?　　例3有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？?　　誤解：因為是8個小球的全排列，所以共有種方法.?　　錯因分析：誤解中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.?　　正解：8個小球排好后對應(yīng)著8個位置，題中的排法相當(dāng)于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：排法.?　　3重復(fù)計算出錯?　　在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。?　　例4（2002年北京文科高考題）5本不同的書全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）?　?。ˋ）480種（B）240種（C）120種（D）96種?　　誤解：先從5本書中取4本分給4個人，有種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有4種分法，共有種不同的分法，選A.錯因分析：設(shè)5本書為、、、、，四個人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2：?

2　　表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況；表2是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后一本書給甲的情況.這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次.?　　正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有種方法；第二步：再把4本書分給4個學(xué)生，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選B.?　　例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）種.?　?。ˋ）5040（B）1260（C）210（D）630?　　誤解：第一個人先挑選2天，第二個人再挑選2天，剩下的3天給第三個人，這三個人再進(jìn)行全排列.共有：，選B.?　　錯因分析：這里是均勻分組問題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計算了.?　　正解：種.?　　4遺漏計算出錯?　　在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因為遺漏某些情況，而出錯。?　　例6用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）?　?。ˋ）36個（B）48個（C）66個（D）72個誤解：如右圖，最后一位只能是1或3有兩種取法，?　　又因為第1位不能是0，在最后一位取定后只有3種取?　　法，剩下3個數(shù)排中間兩個位置有種排法，共有個.?　　錯因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).?　　正解：任一個五位的奇數(shù)都符合要求，共有個，再由前面分析四位數(shù)個數(shù)和五位數(shù)個數(shù)之和共有72個，選D.?　　5忽視題設(shè)條件出錯在解決排列組合問題時一定要注意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解　　例7(2003全國高考題)如圖，一個?　　地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，?　　要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4?　　種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）?　　誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有種，由乘法原理共有：種.?　　錯因分析：據(jù)報導(dǎo)，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).?　　正解：當(dāng)使用四種顏色時，由前面的誤解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有種.綜上共有：種.?　　例8已知是關(guān)于的一元二次方程，其中、，求解集不同的一元二次方程的個數(shù).?　　誤解：從集合中任意取兩個元素作為、，方程有個，當(dāng)、取同一個數(shù)時方程有1個，共有個.?　　錯因分析：誤解中沒有注意到題設(shè)中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于同解、同解，故要減去2個。?

3　　正解：由分析，共有個解集不同的一元二次方程.?　　6未考慮特殊情況出錯?　　在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯.?　　例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）?　　(A)1024種(B)1023種(C)1536種(D)1535種?　　誤解：因為共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有種.?　　錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計算成4種情況，實際上只有不取、取一張和取二張3種情況.?　　正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有種.?　　7題意的理解偏差出錯?　　例10現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.?　?。ˋ）（B）（C）（D）?　　錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.?　　正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B.?　　8解題策略的選擇不當(dāng)出錯?　　例10高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）.?　?。ˋ）16種（B）18種（C）37種（D）48種?　　誤解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有種方案.?　　錯因分析：顯然這里有重復(fù)計算.如：班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除.?　　正解：用間接法.先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：種方案.?