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《分區(qū)域函數(shù)的二重積分法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、萬(wàn)方數(shù)據(jù)分區(qū)域函數(shù)的二重積分法余品能，崔周進(jìn)(解放軍理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)理系，江蘇南京211101)摘要就絕對(duì)值函數(shù)、極大極小項(xiàng)函數(shù)及取整函數(shù)三種典型形式討論分區(qū)域函數(shù)二重積分的一般方法-并借助實(shí)例給予說(shuō)明．關(guān)鍵詞絕對(duì)值函數(shù)；極大極小項(xiàng)函數(shù)；取整函數(shù)；分區(qū)域函效，二重積分中圖分類號(hào)0172．2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)1008-1399(2011)02—0031-03分區(qū)域函數(shù)的二重積分，一方面作為一元分段函數(shù)定積分的推廣，照樣是借助積分可加性來(lái)處理相關(guān)命題；另一方面由于被積表達(dá)式形式的多樣性，夾雜合適坐標(biāo)系的選取，
2、及函數(shù)方程等，使分區(qū)域函數(shù)的二重積分具有相當(dāng)?shù)木C合性，構(gòu)成了高等數(shù)學(xué)重積分的一個(gè)重點(diǎn)及難點(diǎn)，在高校的期末考試、研究生入學(xué)考試及數(shù)學(xué)競(jìng)賽卷面上都能見(jiàn)到此類試題[卜引．文[4—5]討論了普通分區(qū)域函數(shù)及絕對(duì)值函數(shù)的二重積分．本文將被積函數(shù)進(jìn)行歸類，分別就含絕對(duì)值函數(shù)、極大極小項(xiàng)函數(shù)及取整函數(shù)三種典型類型，討論尋找劃分積分區(qū)域的合適曲線，使此類命題的解題思路清晰化，并輔以具體實(shí)例，以闡明其一般解題思想方法．1有關(guān)絕對(duì)值函數(shù)的二重積分．此類積分的一般形式是阡Ilf(x，y)I曲．WD而計(jì)算方法一般是用曲線f(x，
3、y)；0將積分區(qū)域D劃分為若干小區(qū)域，應(yīng)用二重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性，在每個(gè)小區(qū)域上分別積分．例l設(shè)積分區(qū)域D={o，少l0≤z≤2，0≤Y≤2)．(1)試計(jì)算二重積分仃A=llIxy一1I曲；JJD(2)若函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)，且收稿日期：2010—09—29，修改日期：2011—02一09．作者簡(jiǎn)介；余品能(1963--)，男．江蘇宜興人。教授，主要從事快速算法與數(shù)值分析等研究．Emailjnengll@sahu．∞札崔周進(jìn)(1982--)，男，江蘇東臺(tái)人．硪士，講師，主要從事非線性微分方程等
4、研究．EmailIcuizhoujilI@126．∞札毯娶z，，)do--Q．幾工訂(訓(xùn)>曲_1’試證存在(車，礦∈D，使得l，(導(dǎo)，礦l≥萬(wàn)1．解(1)用曲線xy=1將積分區(qū)域D劃分為D。和D：兩部分(圖1)，則由二重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性得A=皿(趔叫曲+Ⅱ(1一xy)do=￡吐c剄一，，dy+r“c·一刪，dy+只時(shí)；c·一掣m=導(dǎo)+h2．所以圈1鋼1及飼3積分區(qū)域圖(2)根據(jù)題設(shè)有g(shù)o(xy--1)f(z，y)do--毯于訊刪)do--gDf(z。y)do--1．1一lgD(xy--1)f(z，
5、y)曲l≤幾l鯽一1Ilf(x,y)I曲≤吼Jxy--1Jdo=MA，萬(wàn)方數(shù)據(jù)32高等教學(xué)研宛2011年3月其中M=maxlf(x，y)1．顯然If(x，y)I也在D上連續(xù)．又由閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值定理知，存在(e，礦∈D，使得I，(e，礦l=M，從而存在(e，礦∈D，使得I廠(e，7)I>1者·例2已知函數(shù)f(x，y)在區(qū)域、D=f(z，y)J0≤Y≤以z一7)上連續(xù)，且滿足弛護(hù)萬(wàn)殺乖+拈舳，試計(jì)算二重積分A。』J。，(z，y)da．解由所給條件，有f(x,y卜幣弄南+會(huì)，對(duì)上式兩邊同時(shí)在區(qū)域D上作二
6、重積分，則有A一幾萬(wàn)殺雨曲+ⅡD知從而有肚礬幣南如．用曲線≯+Y2；2將積分區(qū)域D劃分為D。和D。兩部分(圖2)，則由二重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性，并選用極坐標(biāo)系計(jì)算得肛磯南出+扎壓與由=礦《三r岫+2Jr0斫齒+3q3矗3q。?亂一’2，2E噸剛壽娟一渤．YJ壓孓。DJ2il／x2可2=2．—／圈2例2積分區(qū)域目2有關(guān)極大極小項(xiàng)函數(shù)的二重積分此類積分的一般形式為I
7、max{f(x，y)，g(z，y))曲，
8、Imin{f(x，y)，g(z，y))曲，而計(jì)算方法一般是用曲線f(x，y)=g(x，y)將積分區(qū)
9、域D劃分為若干小區(qū)域，應(yīng)用二重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性，在每個(gè)小區(qū)域上分別積分．例3[sJ計(jì)算二重積分卜JJ。max(xy，1)dxdy，其中積分區(qū)域D={(z，y)10≤z≤2，0≤Y≤2)．解用曲線xy==1將積分區(qū)域D劃分為D。和D：兩部分(圖1)，則I=J】
10、D1xydxdy+n1dxdy-一‘幾，xydxdy+幾1dxdy一幾，ldxdY=幾1蛐+幾∞一1)蛐=等+lIl2．例4計(jì)算二重積分k』J。I了一z2lmax(z，y)do，其中積分區(qū)域．D={(z，y)10≤z≤1，0≤Y≤1)．解用曲
11、線和直線Y2z2，Y=-r將區(qū)域D劃分為D。，D。和D。三部分(圖3)，則J=幾y(y一)如+幾：山一乒川皿z(Xz--y)如=J．1∞(y一≯)曲+J．1札的--xZ)dy+00jdz3jff《礎(chǔ)2刊dy一譬．萬(wàn)方數(shù)據(jù)第14卷第2期余品能，崔周進(jìn)：分區(qū)域函數(shù)的二重積分法333有關(guān)取整函數(shù)的二重積分此類積分的一般形式為阡Il[廠(z。y)]曲，●^JU其中[廠(z，y)]表示不超過(guò)f(x，y)的最大整數(shù)．其計(jì)算方法一般是轉(zhuǎn)化為
