“數(shù)形結合”在解數(shù)學壓軸題中的作用

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1、“數(shù)形結合”在解數(shù)學壓軸題中的作用一般性數(shù)學試卷的最后一題在測試學生的數(shù)學素養(yǎng)的基礎上，本著適度區(qū)分的原則，最后一題的三個小題的坡度逐漸提升，達到分層的效果．這些試題一般性取材于課本但高于課本，強調知識的靈活運用，綜合性較強，原創(chuàng)題較少，大多屬于改編體，它們的基本圖形在幾何畫板中加以研究，達到推陳出新的效果，絕大多數(shù)屬于改編題．下面以靜安、楊浦兩區(qū)模擬考最后一題為例，進行歸納分析．它們的難度略低于中考的壓軸題．例1．（08靜安）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，AB=4，BC=12，點E在邊BA的延長線上，

2、AE=2，點F在BC邊上，EF與邊AD相交于點G，DF⊥EF，設AG=x,DF=y．（1）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）當AD=11時，求AG的長；（3）如果半徑為EG的⊙E與半徑為FD的　　　　⊙F相切，求這兩個圓的半徑．分析：本題以直角梯形為載體，第1小題梯形結合相似形知識來研究兩條線段的數(shù)量關系，探求函數(shù)關系式和定義域;第2小題在研究特殊情況下知道函數(shù)值AD=11求自變量AG的值，第三小題結合圓的內容以兩圓相切（外切和內切）這一知識點來壓軸．其實如果學生基礎扎實，利用兩圓相切關系建立等式：當⊙E與⊙F外切時

3、，EF=EG+FD=EG+FG，當⊙E與⊙F內切時，EF=FD–EG，相關的量都用含自便量的代數(shù)式來表示，從而利用關系等式建立方程，解方程求出自便量的值，再求出兩個圓的半徑，考察了方程思想．略解：（1）∵AD//BC，∠B=90o，∴∠EAG=∠B=90o，∴EG=∵∴FG=．∵∠DFG=∠EAG=90o，∠EGA=∠DGF，∴△DFG∽△EAG．∴，∴，∴y關于x的函數(shù)解析式為，定義域為（2）∵△DFG∽△EAG，∴∴GD=．當AD=11時，，．經(jīng)檢驗它們都是原方程的根，且符合題意，所以AG的長為1或．（3）當⊙E與⊙F外切

4、時，EF=EG+FD=EG+FG，∴FD=FG，∵△DFG∽△EAG，∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF．∴AG=AE=2；∴⊙E的半徑EG=，⊙F的半徑FD=．當⊙E與⊙F內切時，EF=FD–EG，∴3，∴∴⊙E的半徑EG=，⊙F的半徑FD=．所以⊙E的半徑為2，⊙F的半徑為4；或⊙E的半徑為，⊙F的半徑為4．例2．（08楊浦）如圖，Rt△ABO在直角坐標系中，∠ABO=900，點A（-25，0），∠A的正切值為，直線AB與y軸交于點C（1）求點B的坐標；（2）將△ABO繞點O順時針旋轉，使點B落在x軸正半軸上的B/處。試

5、在直角坐標系中畫出旋轉后的△A/B/O，并寫出點A/的坐標；（3）在直線OA/上是否存在點D，使△COD與△AOB相似，若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．分析：本題以直線(一次函數(shù))為載體，它與坐標軸的結合鑲嵌了母子直角三角形在內，結合三角比知識求點B的坐標就構成了第一小題;第二小題結合我們上海考題的一貫特色，圖形三大運動之一旋轉來考察學生的畫圖能力，直接寫出坐標則秉承了上海中考24題的一貫分格，只不過的24題以二次函數(shù)為載體；第三小題則結合了相似形只是考察分類討論的數(shù)學思想和方程思想．其實這種習題如果學生留意一下

6、,就會成為傻瓜題,不管是否結合坐標系背景,只要是文字語言敘述的存在性問題,都會保證一個字母相同(提供一個相等的角)分兩種情況；如果沒有相同字母時一定會隱藏相等的叫在里面，分類討論的方法相同,如挖掘出∠A=∠COA/當或時,第1、2比例項不變，第3、第4比例項調換位置，最多時有三個答案．略解：（1）易得B（－16，12）（2）正確畫圖A/（5）（3）在Rt△AOC中，AO=25，tgA=，∴OC=設OA/的解析式為y=kx，則15=則k=，∴y=x∵△ABO旋轉至△A/B/O，∴∠AOB=∠A/OB/，∵∠AOB+∠A=900，

7、∠COA/+∠A/OB/=900，∴∠A=∠COA/∴在直線OA/上存在點D符合條件，設點D的坐標為（x，x），則OD=1)當即，也即x=16時，△COD與△AOB相似，此時D（16，12）2)當即，即x=時△COD與△AOB相似，此時D（）．1．對于兩類壓軸題的對比分析圖形(1)(2)共同點代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結合）；著力于數(shù)學本質及核心內容的考查;四大數(shù)學思想：數(shù)學結合、分類討論、方程、函數(shù)不同點以形為載體，研究數(shù)量關系以數(shù)為平臺，研究形的特征通過設、表、列獲得函數(shù)關系式通過方程思想確定點的坐標或函數(shù)關系式研究特殊情

8、況下的函數(shù)值研究特殊圖形的存在性我市今年各區(qū)最后兩題均屬于一道以形為載體，研究數(shù)量關系、一道以數(shù)為平臺，研究形的特征，這也和最近兩年中考題最后兩題吻合．2．習慣于思考試題編制方法與策略要結合想考察的內容，有針對性地選好起點題，這個起點題可以是課本上的例習題，也可以是往年的中考