“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學解題中的作用

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1、“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學解題中的作用　　“數(shù)學是思維的體操”，思維是解決問題的前提，抽象思維更在解決數(shù)學問題中起著重要的作用.然而一個問題的成功解決往往僅靠抽象的孤立的思維是不夠的，還需要從“形”的角度去理解，去研究，變抽象為形象，將抽象復雜的問題轉(zhuǎn)化為形象直觀的幾何圖形，使人感到形象化，直觀化，從而開導人們的思路，啟迪人們找到一條解決問題的有效途徑和方法，化難為易，化繁為簡，化隱為顯，這樣才能使問題簡捷地得以解決.因而我們要重視“形”的運用，要善于用“形”，要有一種一見數(shù)或式就能聯(lián)想到相關(guān)圖形的主觀感知，即“形感”.　　“形”本身就蘊含著問題的特征和解題的導向.實

2、際上“形”可以使人們不受固定的邏輯規(guī)則制約，可以讓人們直接領(lǐng)悟事物的本質(zhì).通過“形”的展現(xiàn)與變換我們的觀察將會更敏銳，想象將會更豐富，判斷將會更迅速，猜想將會更深刻.因為它可以越過思維的中間推理階段，直接洞察問題的本質(zhì)與規(guī)律，直達有關(guān)結(jié)論.因而在解數(shù)學題時，要有“形感”，要會用“形”.　　當我們面臨問題的時候，可以不急于動手計算，試試作出圖形，解析圖形，將會出現(xiàn)意想不到的效果.　　一、具體和直觀　　用“形”可以使問題的條件具體化、明朗化.3　　題目1：鐵路的附近有兩個村莊，問在鐵路上何處建站，才能使兩個村莊到站的距離之和最小呢？　　分析：這是一個距離和最小值問題，

3、若以圖形來說明，則問題的條件就會更加形象化，明朗化，從而解題的思維更加明確.　　作出圖形，發(fā)現(xiàn)有兩種情況：　　對于圖1：若村莊A、B在鐵路L的兩側(cè)，則如圖顯然站建在AB的連線與L的交點z上.　　對于圖2：若村莊A、B在鐵路L的同側(cè)，則作A關(guān)于L的對稱點A′，站應(yīng)建在A′B的連線與L的交點z′上.通過圖形，顯然得知，這是一題用對稱來解決距離和最小值問題.　　二、準確和直接　　用“形”可以迅速發(fā)現(xiàn)問題的特點，直接切中問題的要害.　　題目2：定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=2x上移動，M是線段AB的中點，求M點到y(tǒng)軸的最短距離.　　當時，學生對結(jié)論十分感興趣，

4、發(fā)覺（*）式的“形”是多么的和諧與美妙；就是將圓方程的x2改寫成x0x，y2改寫成y0y，便是切線方程，于是他們提出了大膽的猜想.　　猜想1：若圓的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，則過其一點M（x0，y0）的切線方程必是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.　　猜想2：過拋物線y2=2px上一點M（x0，y0）的切線方程是y0y=2p（x02+x2）.　　猜想3：過橢圓x2a2+y2b2=1上的一點M（x0，y0）的切線方程是x0ax+y0by=1.3　　猜想4：過雙曲線x2a2-y2b2=1上一點M（x0，y0）的切線方程是x0ax-y

5、0by=1.　　猜想5：是否對于每個二次曲線上一點M（x0，y0）的切線方程，都是將其中的Ax2改寫成Ax0x，Bxy改寫成B2（x0y+y0x），Cy2改寫成Cy0y，Dx改寫成D（x02+x2），Ey改寫成E（y02+y2）呢.　　對于猜想1、2，學生都分別用圓心到直線的距離等于半徑和方程組有重根加以證明了.對于猜想3、4，有部分學生自學過后面的內(nèi)容采用方程組有重根的方法得以證明，或用導數(shù)得到證明.　　對于猜想5，這是一個很經(jīng)典的結(jié)論，用方程組有重根的方法證很繁，在左銓如《解析幾何教程》里有所證明.通過“圖形”和“代數(shù)式的變形”學生能大膽地猜測出5個結(jié)論，真正

6、意想不到，效果極佳.　　由此可見，“形感”起著邏輯思維等諸多思維不可替代的作用；“數(shù)無形時少直觀”，有些幾何問題在沒有圖形輔助的情況下，解題思維幾乎無法開展；因而在進行數(shù)學解題時要善于用“形”.　　當然，“形”感的培養(yǎng)，主要體現(xiàn)在識形、作形、用形的能力與意識的培養(yǎng)，要善于處理“形”的信息，尋找形與文字符號之間的聯(lián)系，剖析幾何形態(tài)，捕捉“形”的特征，根據(jù)“形”的變化，大膽預言與猜測.這需要我們對“形”的概念應(yīng)明晰，做到對每個圖形應(yīng)有基本式、變式及其內(nèi)在聯(lián)系了然于心.將抽象思維與形象思維緊密結(jié)合，從而能直覺敏銳地進行識別、分析、形成對問題的綜合判斷，最終得到解題方法和

7、思路，會使我們的思維更準確，更縝密，更快捷.　　江蘇省揚州市邗江區(qū)蔣王中學（225126）3