活用數(shù)形結(jié)合思想提高數(shù)學(xué)解題能力

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1、活用數(shù)形結(jié)合思想提高數(shù)學(xué)解題能力摘要:在高考復(fù)習(xí)時(shí)，我們要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想的重要性，要有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。本文以數(shù)形結(jié)合思想方法運(yùn)用為例，著重探討了數(shù)形結(jié)合思想在解答問(wèn)題時(shí)的便捷性和高效性。關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)學(xué)解題能力《高考考試大綱》對(duì)數(shù)學(xué)考查的要求指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值?！薄皩?duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時(shí)必須要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的

2、掌握程度”。因此，在高考復(fù)習(xí)時(shí)，我們要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想的重要性，要有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。本文以數(shù)形結(jié)合思想方法運(yùn)用為例，著重探討了數(shù)形結(jié)合思想在解答問(wèn)題時(shí)的便捷性和高效性。所謂數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，一方面借助數(shù)的精確性來(lái)闡述形的某些屬性，另一方面借助形的直觀性來(lái)闡述數(shù)量之間的關(guān)系?！皶毙?，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，這是華羅庚教授對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深刻、透徹的闡釋。具體的說(shuō)，就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的背景、數(shù)量關(guān)系、圖形特征或使“數(shù)”的問(wèn)題，借助“形”去觀察；或?qū)ⅰ靶巍钡膯?wèn)題，借助“數(shù)”去思考

3、，這種解決的思想稱為數(shù)形結(jié)合思想。在使用的過(guò)程中，由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)，因此，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化。特別是在集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、向量、解析幾何、導(dǎo)數(shù)與積分等能夠用圖形表述的知識(shí)點(diǎn)，如果能活用數(shù)形結(jié)合思想，就能化繁為簡(jiǎn)，化難為易，有助于快速解決問(wèn)題。高考在選擇題、填空題側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題中，考慮推理論證嚴(yán)密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。1.集合問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合例1、已知集合a=｛x｜-1

4、在數(shù)軸上表示出集合a的范圍，要使ab，由包含于的關(guān)系可知集合b應(yīng)該覆蓋集合a，從而有:a≤-13a≥3,這時(shí)a的值不可能存在（圖1）2.利用函數(shù)的圖象解答問(wèn)題例2.設(shè)f(x)=x2,｜x｜≥1x,｜x｜<1，g(x)是二次函數(shù)，若f［g(x)］的值域是［0,+∞)，則g(x)的值域是（）a.（-∞,-1］y［1,+∞)b.（-∞,-1］y［0,+∞)c.［0,+∞)d.［1,+∞)分析：本題為復(fù)合函數(shù)，g(x)相當(dāng)于f(x)中的x的值，結(jié)合函數(shù)的圖象，可以求得g(x)的值域。解：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖2所示，由圖知當(dāng)x∈（-∞,-1］u［0,+

5、∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,+∞)，而f［g(x)］為復(fù)合函數(shù)，g(x)相當(dāng)于f(x)中的x的值，所以g(x)的值域是（-∞,-1］y［0,+∞)，故選b。3.利用不等式表示的平面區(qū)域解答問(wèn)題例3.若a≥0,b≥0，且當(dāng)x≥0y≥0x+y≤1時(shí)，恒有ax+by≤1，則以a,b為坐標(biāo)點(diǎn)p（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于。分析：本小題主要考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，可考慮特殊情形，比如x＝0，可得a＝1；y＝0可得b＝1。所以猜測(cè)a介于0和1之間，b介于0和1之間。解：不等式組x≥0y≥0x+y≤1表示的平面區(qū)域?yàn)関aob，如圖30≤y≤1

6、，由ax+by≤1恒成立知，當(dāng)x=0時(shí)，by≤1恒成立，當(dāng)y=0成立；當(dāng)0

7、，0≤y≤22）所給函數(shù)化為以u(píng)為參數(shù)的直線方程y=-x+u，它與橢圓x2+2y2=16在第一象限的部分（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，（如圖4）umin=22相切于第一象限時(shí)，u取最大值y=-x+u2+2y2=16→3x2-4ux+2u2-16=0解△=0，得u=±26取u=26∴umax=265.利用函數(shù)借助圖形求面積例5曲線y=x2和曲線y=x圍成一個(gè)葉形圖(如圖5所示陰影部分），其面積是（）a．1b．12c．22d．13分析:兩條曲線圍成的面積用微積分求出，并且是上面的函數(shù)減去下面的函數(shù)的積分。解:兩條