抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷

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1、www.MathsChina.com彰顯數(shù)學(xué)魅力！演繹華軟傳奇！抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷　　例１　已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)，均有．且當(dāng)＞０時(shí)，＞０，試判斷的單調(diào)性，并說明理由.　　解析：根據(jù)題目所給條件，原型函數(shù)為＝，（＞０）．此為增函數(shù)．類比其證明方法可得：設(shè)，且，則－＞０，故?。荆埃　　唷。剑　　　　　　。剑　　　　　　。剑荆埃　　啵迹」试冢ǎ?，＋）上為增函數(shù)．例２　已知函數(shù)在上是奇函數(shù)，而且在上為增函數(shù)，證明在上也是增函數(shù)．解析：此函數(shù)原型函數(shù)同樣可以為，而奇函數(shù)這個(gè)條件正是轉(zhuǎn)化的媒介．　　　設(shè)，且，　為奇函數(shù)，，．　　　由假設(shè)可知，即，

2、且，　　　由于在上是增函數(shù)，　　　于是有，即，從而，　　　在上是增函數(shù)．例３　已知函數(shù)對于任意正數(shù)，都有＝·,且≠0,當(dāng)＞1時(shí),＜1．試判斷在（０，＋）上的單調(diào)性，并說明理由．學(xué)數(shù)學(xué)用專頁第6頁共6頁教數(shù)學(xué)用華軟www.MathsChina.com彰顯數(shù)學(xué)魅力！演繹華軟傳奇！　　解析：此函數(shù)的原型函數(shù)可以為．顯然此函數(shù)在（０，＋）上是減函數(shù)．　　對于（０，＋）有＝　　又≠０，　　∴＞０　　設(shè)，（０，＋），且＜．則?。迹?，　　∴?。?，　故在（０，＋）上為減函數(shù)．　　一般形式為y=f(x)且無法用數(shù)字和字母表示出來的函數(shù)，一般出現(xiàn)在題目中，或許有定義域

3、、值域等?！　∩轿溲a(bǔ)充：　　1抽象函數(shù)常常與周期函數(shù)結(jié)合，如：　　f(x)=-f(x+2)　　f(x)=f(x+4)　　2解抽象函數(shù)題，通常要用賦值法，而且高考數(shù)學(xué)中，常常要先求F（0）F（1）　　抽象函數(shù)的經(jīng)典題目！?。　　∥覀儼褯]有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。由于這類問題可以全面考查學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時(shí)抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，周期性和圖象集于一身，所以在高考中不斷出現(xiàn)；如2002年上海高考卷12題，2004年江蘇高考卷22題，2004年浙江高考卷12題等。學(xué)生在解決這類問題時(shí)，往往會(huì)感到無從下手，正

4、確率低，本文就這類問題的解法談一點(diǎn)粗淺的看法?！　∫唬厥庵捣?在處理選擇題時(shí)有意想不到的效果?！　±?定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，當(dāng)x<0時(shí)，,f(x)>0，則函數(shù)f(x)在[a,b]上()　　A有最小值f(a)B有最大值f(b)C有最小值f(b)D有最大值f()　　分析：許多抽象函數(shù)是由特殊函數(shù)抽象背景而得到的，如正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0)，,,，可抽象為f(x+y)=f(x)+f(y)，與此類似的還有　　特殊函數(shù)抽象函數(shù)　　f(x)=xf(xy)=f(x)f(y)　　f(x)=　　f(x

5、+y)=f(x)f(y)學(xué)數(shù)學(xué)用專頁第6頁共6頁教數(shù)學(xué)用華軟www.MathsChina.com彰顯數(shù)學(xué)魅力！演繹華軟傳奇！　　f(x)=　　f(xy)=f(x)+f(y)　　f(x)=tanxf(x+y)=　　此題作為選擇題可采用特殊值函數(shù)f(x)=kx(k≠0)　　∵當(dāng)x<0時(shí)f(x)>0即kx>0。.∴k<0，可得f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減，從而在[a,b]上有最小值f(b)?！　《x值法．根據(jù)所要證明的或求解的問題使自變量取某些特殊值，從而來解決問題?！　±?除了用剛才的方法外,也可采用賦值法　　解:令y=-x，則由f(x+y)=f(

6、x)+f(y)(x，y∈R)得f(0)=f(x)+f(-x)…..①,　　再令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0)得f(0)=0，代入①式得f(-x)=-f(x)。　　得f(x)是一個(gè)奇函數(shù)，再令，且?！　　選<0，f(x)>0，而∴，則得，　　即f(x)在R上是一個(gè)減函數(shù)，可得f(x)在[a,b]上有最小值f(b)?！　±?已知函數(shù)y=f(x)(x∈R，x≠0)對任意的非零實(shí)數(shù)，，恒有f()=f()+f(),　　試判斷f(x)的奇偶性?！　〗猓毫?-1，=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)……①為了求f(-1)的值，令=1，=-1，則f(

7、-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)∴f(-1)=0代入①式得　　f(-x)=f(x),可得f(x)是一個(gè)偶函數(shù)?！　∪煤瘮?shù)的圖象性質(zhì)來解題：　　抽象函數(shù)雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質(zhì)圖象直接來解題?！　〕橄蠛瘮?shù)解題時(shí)常要用到以下結(jié)論：　　定理1：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=對稱?！　《ɡ?：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b+x)，則函數(shù)y=f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，周期為a-b?！　±?f(x)

8、是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)=f(2-x)，證明f(x)是周期函數(shù)。　　分析：由f(x)=f(2-x)，得f(x)的圖