剛體力學(xué)基礎(chǔ) 動(dòng)量矩

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1、剛體力學(xué)基礎(chǔ)動(dòng)量矩本章內(nèi)容：1剛體和剛體的基本運(yùn)動(dòng)2力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程3繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能動(dòng)能定理4動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律1剛體和剛體的基本運(yùn)動(dòng)1.1剛體(rigidbody)的概念在力作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱(chēng)為剛體。特殊的質(zhì)點(diǎn)系，——理想化模型形狀和體積不變化在力作用下，組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變1.2剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)(translationofarigidbody)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線(xiàn)都始終保持和自身平行平動(dòng)的特點(diǎn):剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同,剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)xyzOABM2.剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)(rotationof

2、arigidbodyaroundafixaxis)角坐標(biāo)描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線(xiàn)(轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動(dòng)_____剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)—定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)學(xué)方程)角速度角加速度zIIIP?繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度當(dāng)與質(zhì)點(diǎn)的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)公式相似Mω,?剛體?θzOrM任意一點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng),且?，?都相同2.1力矩(torque)2力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程力改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)質(zhì)點(diǎn)獲得加速度力矩改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)剛體獲得角加速度1.力F對(duì)z軸的力矩hA?(力不在垂直于軸的平面內(nèi))(力F在垂直于軸的平面內(nèi))2.力對(duì)點(diǎn)的力矩O.大小?指向由右螺旋法則確定力對(duì)定軸力矩的矢

3、量形式（力對(duì)軸的力矩只有兩個(gè)指向）A2.2剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第k個(gè)質(zhì)元切線(xiàn)方向在上式兩邊同乘以rk對(duì)所有質(zhì)元求和fk內(nèi)力矩之和為0轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jrk剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程（剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律）與牛頓第二定律比較：2.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(rotationalinertia,momentofinertia)定義質(zhì)量不連續(xù)分布r質(zhì)量連續(xù)分布確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素:(1)總質(zhì)量(2)質(zhì)量分布(3)轉(zhuǎn)軸的位置J與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例如等長(zhǎng)的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量LzOxdxMJ與質(zhì)量分布有關(guān)例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例如圓盤(pán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxM平行軸定理(

4、parallelaxistheorem)zLCMz'zJ與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸兩軸間垂直距離(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速度解(1)(2)兩者區(qū)別2.4轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例例求一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，(見(jiàn)圖)一定滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，不能伸長(zhǎng)的輕繩兩邊分別系m1和m2的物體掛于滑輪上，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。（設(shè)輪軸光滑無(wú)摩擦，滑輪的初角速度為零）例求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。解以m1，m2，m為研究對(duì)象,

5、受力分析滑輪m：物體m1：物體m2：3繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能動(dòng)能定理3.1繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能(rotationalkineticenergyofarigidbody)z?O的動(dòng)能為剛體的總動(dòng)能P?繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角速度平方乘積的一半結(jié)論3.2力矩的功(workdonebytorque)?O根據(jù)功的定義（力矩做功的微分形式）對(duì)一有限過(guò)程若M=C力的累積過(guò)程——力矩的空間累積效應(yīng)?.P3.3轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理(rotationalkineticenergytheorem)——合力矩功的效果對(duì)于一有限過(guò)程繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在任一過(guò)程中轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，等于在該過(guò)程中作用在剛體上所

6、有外力矩所作功的總和。這就是繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的——?jiǎng)幽芏ɡ?2)力矩的功就是力的功。(3)內(nèi)力矩作功之和為零。討論(1)合力矩的功例一根長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，可繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置解由動(dòng)能定理求它由此下擺?角時(shí)的?此題也可用機(jī)械能守恒定律方便求解Olm?Cx4.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩(角動(dòng)量)定理和動(dòng)量矩守恒定律1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩(對(duì)O點(diǎn))其大小質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及位矢(取決于固定點(diǎn)的選擇)有關(guān)特例：質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)4動(dòng)量矩(angularmomentum)和動(dòng)量矩守恒定律(lawofconservationofangularmomentum)O?S慣性參照系例一質(zhì)點(diǎn)m，速

7、度為v，如圖所示，A、B、C分別為三個(gè)參考點(diǎn),此時(shí)m相對(duì)三個(gè)點(diǎn)的距離分別為d1、d2、d3求此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對(duì)三個(gè)參考點(diǎn)的動(dòng)量矩md1d2d3ABC解(質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的積分形式)(質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的微分形式)2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)所受合力矩的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩的增量說(shuō)明沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩變化的原因質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩的變化是力矩對(duì)時(shí)間的積累結(jié)果3.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律──質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒(1)守恒條件(2)有心力