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《年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題1.設(shè)非零實數(shù),,滿足則的值為().(A)(B)(C)(D)【答案】A【解答】由已知得,故.于是,所以.2.已知,,是實常數(shù),關(guān)于的一元二次方程有兩個非零實根,,則下列關(guān)于的一元二次方程中,以,為兩個實根的是().(A)(B)(C)(D)【答案】B【解答】由于是關(guān)于的一元二次方程,則.因為,,且,所以,且,,于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系,以,為兩個實根的一元二次方程是,即.(第3題)3.如圖,在Rt△ABC中,已知O是斜邊AB的中點,CD⊥AB,垂足為D,DE⊥OC,垂足為E.若AD,DB,CD
2、的長度都是有理數(shù),則線段OD,OE,DE,AC的長度中,不一定是有理數(shù)的為().(A)OD(B)OE(C)DE(D)AC【答案】D【解答】(第3題答題)因AD,DB,CD的長度都是有理數(shù),所以,OA=OB=OC=是有理數(shù).于是,OD=OA-AD是有理數(shù).由Rt△DOE∽Rt△COD,知,都是有理數(shù),而AC=不一定是有理數(shù).(第4題)4.如圖,已知△ABC的面積為24,點D在線段AC上,點F在線段BC的延長線上,且,DCFE是平行四邊形,則圖中陰影部分的面積為().(A)3(B)4(C)6(D)8【答案】C【解答】因為DCFE是平行四邊形,所
3、以DE//CF,且EF//DC.(第4題答題)連接CE,因為DE//CF,即DE//BF,所以S△DEB=S△DEC,因此原來陰影部分的面積等于△ACE的面積.連接AF,因為EF//CD,即EF//AC,所以S△ACE=S△ACF.因為,所以S△ABC=4S△ACF.故陰影部分的面積為6.5.對于任意實數(shù)x,y,z,定義運算“*”為:,且,則的值為().(A)(B)(C)(D)【答案】C【解答】設(shè),則,于是.二、填空題6.設(shè),b是的小數(shù)部分,則的值為.【答案】【解答】由于,故,因此.(第7題)7.如圖,點D,E分別是△ABC的邊AC,AB上
4、的點,直線BD與CE交于點F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面積分別是3,4,5,則四邊形AEFD的面積是.【答案】【解答】如圖,連接AF,則有:(第7題答題),,解得,.所以,四邊形AEFD的面積是.8.已知正整數(shù)a,b,c滿足,,則的最大值為.【答案】【解答】由已知,消去c,并整理得.由a為正整數(shù)及≤66,可得1≤a≤3.若,則,無正整數(shù)解;若,則,無正整數(shù)解;若,則,于是可解得,.(i)若,則,從而可得;(ii)若,則,從而可得.綜上知的最大值為.9.實數(shù)a,b,c,d滿足:一元二次方程的兩根為a,b,一元二次方程的兩根為c,d,
5、則所有滿足條件的數(shù)組為.【答案】,(為任意實數(shù))【解答】由韋達定理得由上式,可知.若,則,,進而.若,則,有(為任意實數(shù)).經(jīng)檢驗,數(shù)組與(為任意實數(shù))滿足條件.10.小明某天在文具店做志愿者賣筆,鉛筆每支售4元,圓珠筆每支售7元.開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支,當天雖然筆沒有全部賣完,但是他的銷售收入恰好是2013元.則他至少賣出了支圓珠筆.【答案】207【解答】設(shè)x,y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù),則所以,于是是整數(shù).又,所以,故y的最小值為207,此時.三、解答題(第11題)11.如圖,拋物線,頂點為E,該拋物線與軸交于A,
6、B兩點,與軸交于點C,且OB=OC=3OA.直線與軸交于點D.求∠DBC-∠CBE.【解答】將分別代入,知,D(0,1),C(0,),所以B(3,0),A(,0).直線過點B.(第11題答題)將點C(0,)的坐標代入,得.…………5分拋物線的頂點為(1,).于是由勾股定理得BC=,CE=,BE=.因為BC2+CE2=BE2,所以,△BCE為直角三角形,.…………10分因此tan==.又tan∠DBO=,則∠DBO=.…………15分所以,.…………20分12.設(shè)△的外心,垂心分別為,若共圓,對于所有的△,求所有可能的度數(shù).【解答】分三種情況討
7、論.(i)若△為銳角三角形.因為,所以由,可得,于是.…………5分(第12題答題(ii))(第12題答題(i))(ii)若△為鈍角三角形.當時,因為,所以由,可得,于是?!?0分當時,不妨假設(shè),因為,所以由,可得,于是.…………15分(iii)若△為直角三角形.當時,因為為邊的中點,不可能共圓,所以不可能等于;當時,不妨假設(shè),此時點B與H重合,于是總有共圓,因此可以是滿足的所有角.綜上可得,所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及.…………20分13.設(shè),,是素數(shù),記,當時,,,能否構(gòu)成三角形的三邊長?證明你的結(jié)論.【解答】不能.依題意,得.因
8、為,所以.又由于為整數(shù),為素數(shù),所以或,.…………10分當時,.進而,,,與,是素數(shù)矛盾;…………15分當時,,所以,,不能構(gòu)成三角形的三邊長.…………20分14.如果將正整數(shù)M