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《復件 不變子空間的性質與構造》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、1緒論1.1引言空間中的任何元素經(jīng)過映射映射后，新的元素仍在這個空間里，這個空間叫做這個映射下的不變空間.不變自空間是原空間的一個子集，對于原空間運算也構成空間且封閉.其作用是可以在子空間去考慮原空間的代數(shù)性質，而不必回到原空間，從而將問題簡化.這也是本文的主要目的.贊同全文總共分為三部分.第一部分為緒論部分為全文作介紹，方便讀者了解本文的中心思想.第二部分主要介紹基本概念，為下面主體部分作鋪墊.第三部分為全文的主體部分，篇幅較長，突出介紹文章的結論及應用.主要內(nèi)容包括：1.不變子空間基本概念-定義
2、與性質；2.不變子空間的結論-定理及推論；3.不變子空間的一些探討-不變子空間的矩陣計算和不變子空間的應用等.2基本概念2.1定義定義1[1]線性空間的一個變換稱為線性變換,如果對于中任意的元素和數(shù)域F中任意數(shù)，都有定義2[1]設是數(shù)域F上線性空間的線性變換,是的子空間.如果中的向量在下的像仍然在中,換句話說,對于中任意一個向量,有我們就稱是的不變子空間,簡稱子空間.2.2下面介紹幾種性質：性質1[2]設，，都是的不變子空間，則都是的不變子空間.證明設，則存在,使得.所以,故而為的不變子空間.同理可
3、證為的不變子空間.性質2[2]設，若為的不變子空間，則也是的不變子空間，其中是數(shù)域上的多項式.證明由于()是數(shù)域上的多項式，不妨設，所以.則有，故依次可知，所以為的不變子空間.性質3[3]設，若可逆且為的不變子空間，則也為的不變子空間.證明由于為的不變子空間,，有.又因為可逆，故，有，所以，于是，也是的不變子空間.性質4[3]設是線性變換，的不變子空間，則在，下也不變.證明，從而，故在，下均不變.性質5[4]設是線性空間V的線性變換，W是的不變子空間.由于W中向量在下的像仍在W中，這就使得有可能不必
4、在整個空間V中來考慮，而只在不變子空間W中考慮，即把看成是W的一個線性變換，稱為在不變子空間W上引起的變換.為了區(qū)別起見，用符號來表示.必須在概念上弄清楚和的異同：是V的線性變換，V中每個向量在下都有確定的像；是不變子空間W上的線性變換，對于W中任一向量有.但是對于V中不屬于W的向量來說，是沒有意義的.性質6W是一維-子空間等價于W=L（），其中是的特征向量.性質7[4]的屬于特征值的特征子空間也是的不變子空間.3結論及應用3.1本節(jié)部分主要介紹關于不變子空間的若干定理以及與實際應用之間的聯(lián)系，如不
5、變子空間與線性變換矩陣化簡之間的聯(lián)系.定理1[5]1）設是n維線性空間V的線性變換，W是V的-子空間.在W中取一組基，并且把它擴充成V的一組基.（1）那么，在這組基下的矩陣就具有下列形狀=(2)其中左上角的K級矩陣就是在W的基下的矩陣.2）設V分解成若干個-子空間的直和：.在每一個-子空間中取基（i=1,2，…，s），（3）并把它們合并起來成為V的一組基I，則在這組基下，的矩陣具有準對角形狀（4）其中（i=1,2，…，s）就是在基（3）下的矩陣.反之，如果線性變換在基I下的矩陣是準對角形（4），則由
6、（3）生成的子空間是-子空間.由此可知，矩陣分解為準對角形與空間分解為不變子空間的直和是等價的.定理2設是n維線性空間V的線性變換，證明V可以分解成的n個一維不變子空間的直和的充分必要條件是，V有一個由的特征向量組成的基.證明設，其中每個都是的一維不變子空間.取的基，則，且，即是的特征向量，而且構成的一組基.反之，設的n個特征向量構成的一組基，則）是的不變子空間，且.定理3[1]設線性變換的特征多項式為，它可以分解成一次因式的乘積，則V可分解成不變子空間的直和其中定理4[6]設是維線性空間，線性變換
7、在某個基下矩陣為，則（1）若，其中為階方陣，當且僅當是的不變子空間；（2）若，其中為階方陣，當且僅當是的不變子空間；（3）若，其中為階方陣，其中為階方陣，當且僅當，及都是不變子空間.定理5[2]設是復數(shù)域上維線性空間，是的線性變換，在基，，，下的矩陣是一若當標準形證明：有且僅有和以下非零不變子空間，證明由不變子空間性質可知，是的不變子空間.又由于中一階主子式所在列的其他元素全部是零的只有第列，因此一維不變子空間僅有；中二階主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第，列的主子式，故二維不變子空間只有，以
8、此類推可得，中所在列的其他元素均為零的階主子式為第列的主子式為.因此的維不變子空間僅有，而維不變子空間只有綜上，于是得到的非零不變子空間有且僅有個，.注：由此證明了以下推論：推論1中包含的的不變子空間只有自身；推論2中的任一非零不變子空間都包含；推論3不能分解成的兩個非平凡不變子空間的直和；推論4設是復數(shù)域上維線性空間，是的線性變換，在基，，，下的矩陣是一若當塊組成的準對角形矩陣，其中，.則有且僅有和以下非零不變子空間，，.定理6[1]在復數(shù)域上（1）如果線性變換是一
