理論力學(xué)12—動量矩定理

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1、12動量矩定理質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩動量矩定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動量矩定理剛體平面運(yùn)動微分方程引言由靜力學(xué)力系簡化理論知：平面任意力系向任一簡化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系對簡化中心的主矩。由剛體平面運(yùn)動理論知：剛體的平面運(yùn)動可以分解為隨同基點(diǎn)的平動和相對基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動。若將簡化中心和基點(diǎn)取在質(zhì)心上，則動量定理(質(zhì)心運(yùn)動定理)描述了剛體隨同質(zhì)心的運(yùn)動的變化和外力系主矢的關(guān)系。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動規(guī)律的一個側(cè)面。剛體相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的運(yùn)動變化與外力系對質(zhì)心的主矩的關(guān)系將有本章的動量

2、矩定理給出。它揭示了物體機(jī)械運(yùn)動規(guī)律的另一個側(cè)面。1質(zhì)點(diǎn)的動量矩質(zhì)點(diǎn)Q的動量對于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對于點(diǎn)O的動量矩，是矢量。12.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r質(zhì)點(diǎn)動量mv在oxy平面內(nèi)的投影(mv)xy對于點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩，是代數(shù)量。類似于力對點(diǎn)之矩和力對軸之矩的關(guān)系，質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)O的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z的動量矩。在國際單位制中，動量矩的單位是kg·m2/s。質(zhì)點(diǎn)的動量矩[MO(mv)]z＝Mz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)O的動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一點(diǎn)O的動量矩的矢量和。質(zhì)點(diǎn)

3、系的動量矩2質(zhì)點(diǎn)系的動量矩LO=ΣMO(mv)質(zhì)點(diǎn)系對某軸z的動量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對同一z軸的動量矩的代數(shù)和。Lz=ΣMz(mv)質(zhì)點(diǎn)系對某點(diǎn)O的動量矩矢在通過該點(diǎn)的z軸上的投影，等于質(zhì)點(diǎn)系對該軸的動量矩。[LO]z=Lz2．剛體繞z軸轉(zhuǎn)動的動量矩：3．平面運(yùn)動剛體1．平動剛體對點(diǎn)O的動量矩：平動剛體對固定點(diǎn)（軸）的動量矩等于剛體質(zhì)心的動量對該點(diǎn)（軸）的動量矩。定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對該軸轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。平動剛體對軸z動量矩：平面運(yùn)動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體隨同質(zhì)心作平動時質(zhì)心的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心軸作

4、轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。例1均質(zhì)圓盤可繞軸O轉(zhuǎn)動，其上纏有一繩，繩下端吊一重物A。若圓盤對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，半徑為r，角速度為w，重物A的質(zhì)量為m，并設(shè)繩與原盤間無相對滑動，求系統(tǒng)對軸O的動量矩。解：LO的轉(zhuǎn)向沿逆時針方向。質(zhì)點(diǎn)系的動量矩12.2.1質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)O的動量矩為MO(mv)，作用力F對同一點(diǎn)的矩為MO(F)，如圖所示。12.2動量矩定理xyzOMO(mv)mvrMO(F)F將動量矩對時間取一次導(dǎo)數(shù)，得12.2.1質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗詘yzOMO(mv)mvrMO(F)F質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，

5、等于作用力對同一點(diǎn)的矩。將上式投影在直角坐標(biāo)軸上，并將對點(diǎn)的動量矩與對軸的動量矩的關(guān)系代入，得質(zhì)點(diǎn)對某固定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì)點(diǎn)所受的力對同一軸的矩。12.2.1質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理例2圖示為一單擺（數(shù)學(xué)擺），擺錘質(zhì)量為m，擺線長為l，如給擺錘以初位移或初速度（統(tǒng)稱初擾動），它就在經(jīng)過O點(diǎn)的鉛垂平面內(nèi)擺動。求此單擺在微小擺動時的運(yùn)動規(guī)律。解：以擺錘為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。在任一瞬時，擺錘的速度為v，擺的偏角為j，則式中負(fù)號表示力矩的正負(fù)號恒與角坐標(biāo)j的正負(fù)號相反。它表明力矩總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢。質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理MyxNv

6、mg由即這就是單擺的運(yùn)動微分方程。當(dāng)j很小時擺作微擺動，sinj≈j，于是上式變?yōu)榇宋⒎址匠痰慕鉃槠渲蠥和a為積分常數(shù)，取決于初始條件?？梢妴螖[的微幅擺動為簡諧運(yùn)動。擺動的周期為顯然，周期只與l有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。得設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個質(zhì)點(diǎn)，作用于每個質(zhì)點(diǎn)的力分為外力Fi(e)和內(nèi)力Fi(i)。由質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理有這樣的方程共有n個，相加后得由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，因此上式右端的底二項(xiàng)12.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理上式左端為于是得12.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對某固定點(diǎn)O的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一點(diǎn)的矩的矢量和。在應(yīng)用質(zhì)

7、點(diǎn)系的動量矩定理時，取投影式質(zhì)點(diǎn)系對某固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對于同一軸的矩的代數(shù)和。12.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理1.質(zhì)點(diǎn)動量矩守恒定律如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對某定點(diǎn)(或定軸)之矩恒等于零，則質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)(或該軸)的動量矩保持不變。12.2.3動量矩守恒定理當(dāng)外力對于某定點(diǎn)(或某定軸)的主矩等于零時，質(zhì)點(diǎn)系對于該點(diǎn)(或該軸)的動量矩保持不變。2.質(zhì)點(diǎn)系動量矩守恒定律例3高爐運(yùn)送礦石的卷揚(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為R，質(zhì)量為m1，繞O軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石的總質(zhì)量為m2。作用在鼓輪上的力偶矩為M，鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，軌道傾角為a

8、。設(shè)繩質(zhì)量和各處摩擦不計(jì)，求小車的加速度a。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。以順時針為正，則由，有動量矩定理