幾何法求最值技巧

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1、幾何法求最值技巧一、教學(xué)目標(biāo):使學(xué)生掌握幾何法求最值的常規(guī)技巧.會(huì)用幾何法求某些函數(shù)的最值.二、教學(xué)重難點(diǎn):如何平移線段和如何構(gòu)造圖形是本課的重點(diǎn)又是難點(diǎn).三、教學(xué)方法:探研法.四、教具:多媒體.五、教學(xué)過程:1.引入課題函數(shù)的最值(值域)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,也是近幾年高考的熱點(diǎn)，對最值的求解可分為兩大類：對能寫出解析式(較簡單的)可用配方法、判別式法、有界法、函數(shù)單調(diào)性、重要不等式、導(dǎo)數(shù)法.對不能寫出解析式(或解析式較復(fù)雜)可用線段平移、構(gòu)造圖形、表面展開、線性規(guī)劃等方法.2.例題選講例1.在直線L:y=x+3上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P且以雙曲線12x2-4y2

2、=3的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓,求橢圓長軸的最小值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)與橢圓方程.解:易求得雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F2(1,0),由此設(shè)橢圓為:由橢圓定義與平面幾何的結(jié)論得:當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P重合于點(diǎn)Po時(shí)，上式取"="號(hào)，例2.如圖,有一條河,兩個(gè)工廠P和Q位于河岸L(直線)的同側(cè)，工廠P和Q距離河岸L分別為10km和8km,兩個(gè)工廠的距離為14km,現(xiàn)要在河岸的工廠一側(cè)選一處R,在R處修一個(gè)水泵站,從R修建直線輸水管分別到兩個(gè)工廠和河岸,使直線輸水管的總長度最小.請確定出水泵站R的位置,并求出R到各處的距離.解:將⊿PRQ繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o到PR'Q'

3、(如圖)當(dāng)Q',R',R三點(diǎn)共線且垂直L時(shí)總長最小.此時(shí)∠PRQ=120o,∠PRR'=∠QRR'=60o,延長QR交P到L的垂線于A點(diǎn),則⊿PRA為正三角形作QB垂直PA于B,可求得BA=8,又PB=2,所以PR=PA=10,R到L的距離為5,QR=QA-RA=6.回歸:若R點(diǎn)在河岸L上時(shí)如何求解？結(jié)果如何？引申:若將上述三個(gè)距離改為任意正數(shù)a,b,c時(shí)如何求解？例3.解:為半圓:(x-2)2+y2=4(y≥0)上的點(diǎn)P到直線2x-2y+7=0的點(diǎn)Q的距離.(如圖)

4、BD

5、為最大值，

6、CE

7、為最小值.例4.如圖,V-ABCD為正四棱錐(∠AVB<45o),

8、閉折線AEFGA是過A且沿正四棱錐側(cè)面一周的細(xì)繩最短時(shí)的路徑.問四點(diǎn)A,E,F,G是否一定共面?并說明理由.解:將正四棱錐的側(cè)面沿VA剪開并鋪平在一個(gè)平面上,(如圖)則細(xì)繩長度的最短值即為線段AA1,且E1,F1,G1三點(diǎn)分別對應(yīng)E,F,G三點(diǎn).假設(shè)A,E,F,G四點(diǎn)共面.不妨設(shè)VA=1,在ΔAVC中,∵VO?AC=VC?AF,四點(diǎn)A,E,F,G才可能共面.六、小結(jié):幾何法求最值的常規(guī)方法有：1.線段平移法技巧為：對稱點(diǎn)轉(zhuǎn)移（或等腰三角形轉(zhuǎn)移）正三角形轉(zhuǎn)移.2.數(shù)形結(jié)合法3.表面展開法4.線性規(guī)劃法(略)七、作業(yè)1.相距40km的兩城鎮(zhèn)A,B之間有一個(gè)圓形湖

9、泊,圓心落在AB連線中點(diǎn)O,半徑為10km,現(xiàn)要繞過湖泊修建一條連結(jié)兩鎮(zhèn)的公路,這條公路的最短路程為()km.答案:D2.上的動(dòng)點(diǎn),則

10、PA

11、+

12、PF1

13、的最小值是答案:B3.已知A為60o二面角α-L-β內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)A到兩個(gè)平面的距離分別為2和3,P,Q分別在平面α，β內(nèi)，求三角形APQ周長的最小值.解:過A點(diǎn)分別作兩平面的對稱A',A'',連接A',A'',設(shè)A'A''交兩平面α,β分別為P,Q,此時(shí)的三角形APQ即為周長的最小值的三角形,易證其周長為A'A'',4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足:x≥1,y≥1,loga2x+loga2y=loga(ax2)+log

14、a(ay2)(a>0且a≠1)求loga(xy)的取值范圍.解:原式可化為:(logax-1)2+(logay-1)2=4.令u=logax,v=logay,k=u+v.點(diǎn)P(u,v)在(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)一、三象限兩段圓弧，k為一組平行直線v=-u+k在y軸上的截距.(如圖)主講人:李品國2003年12月29日補(bǔ)充1.定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng),記線段的中點(diǎn)為M.求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離,并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).解:設(shè)L為y2=x的準(zhǔn)線，(如圖)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xo,yo),則2.83.如圖,L1,L2表示地面上兩條

15、河道,L1,L2垂直交于O點(diǎn),A,B表示兩村莊.A到L1,L2的距離分別為2公里、1公里;B到L1,L2的距離分別為4公里、3公里;現(xiàn)要在河流L1,L2上選一地點(diǎn)M建一抽水站,分別鋪設(shè)水管到A,B兩村,問M應(yīng)選在何處水管造價(jià)最少?L1L2OBA解:如圖,以L1,L2分別為x軸,y軸建成立坐標(biāo)系,則A(1,2),B(3,4),A關(guān)于x軸,y軸的對稱點(diǎn)分別為A1(-1,2),A2(1,-2).4.在一條直線路徑上有A1,A2,A3,A4,A5五個(gè)機(jī)器人在工作,為節(jié)約時(shí)間,提高效率,工廠欲在此直線路徑上設(shè)一零件供應(yīng)點(diǎn)M,使M與五個(gè)機(jī)器人的距離總和最小,則M應(yīng)設(shè)在何

16、處?解:M應(yīng)設(shè)在A1,A5之間的A3處.5.已知正三