高等數(shù)學(xué)方明亮6.5平面及其方程

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1、第五節(jié)平面及其方程第六章（ThePlanesandItsEquations)四、小結(jié)與思考練習(xí)一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角9/2/20211①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面?的點(diǎn)法式方程,求該平面?的方程.法向量.量則有故(ThePoint-NormalFormEquationsofaPlane)9/2/20212即解:取該平面?的法向量為的平面?的方程.(自學(xué)課本例2）利用點(diǎn)法式得平面?的方程例1求過三點(diǎn)9/2/20213此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成一般情況:過三點(diǎn)的平面方程為說明:9

2、/2/20214此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開得即特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為9/2/20215二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.(GeneralEquationofaPlane)9/2/20216特殊情形?當(dāng)D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示通過原點(diǎn)的平面;?當(dāng)A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?Ax+Cz+D=0表示?Ax+By+D

3、=0表示?Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?By+D=0表示平行于y軸的平面;平行于z軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.9/2/20217解:因平面通過x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程例2求通過x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.(自學(xué)課本例3）例3用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.(自學(xué)課本例4）9/2/20218三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為平面∏2的法向量為則兩平面夾角?的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.（TheAnglebetween

4、TwoPlanes）9/2/20219特別有下列結(jié)論：9/2/202110因此有垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.（課本例6）解:設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且例4一平面通過兩點(diǎn)9/2/202111外一點(diǎn),求解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.（課本例7）,則P0到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)例5設(shè)9/2/202112求內(nèi)切于平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成四面體的球面方程.（補(bǔ)充題）例6解:設(shè)球心為則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為從而9/2/202113內(nèi)容小結(jié)1.平面

5、基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式9/2/2021142.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:9/2/202115課外練習(xí)習(xí)題6－51；2；7；8；9（1）（3）；10；11思考與練習(xí)答案：9/2/202116答案：9/2/202117解:已知二平面的法向量為取所求平面的法向量則所求平面方程為化簡(jiǎn)得3.求過點(diǎn)且垂直于二平面和的平面方程.（課本習(xí)題6-55）9/2/202118