《維納濾波》PPT課件

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1、第五章維納濾波（WienerFiltering）維納于1894年生在美國(guó)密蘇里州哥倫比亞市的一個(gè)猶太人的家庭中。他的父親是哈佛大學(xué)的語(yǔ)言教授。維納18歲時(shí)就獲得了哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)和哲學(xué)兩個(gè)博士學(xué)位，隨后他因提出了著名的“控制論”而聞名于世。1940年，維納開(kāi)始考慮計(jì)算機(jī)如何能像大腦一樣工作。他發(fā)現(xiàn)了二者的相似性。維納認(rèn)為計(jì)算機(jī)是一個(gè)進(jìn)行信息處理和信息轉(zhuǎn)換的系統(tǒng)，只要這個(gè)系統(tǒng)能得到數(shù)據(jù)，機(jī)器本身就應(yīng)該能做幾乎任何事情。而且計(jì)算機(jī)本身并不一定要用齒輪，導(dǎo)線，軸，電機(jī)等部件制成。麻省理工學(xué)院的一位教授為了

2、證實(shí)維納的這個(gè)觀點(diǎn)，甚至用石塊和衛(wèi)生紙卷制造過(guò)一臺(tái)簡(jiǎn)單的能運(yùn)行的計(jì)算機(jī)。維納在1940年寫(xiě)給布什的一封信中，對(duì)現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)曾提出了幾條原則：（1）不是模擬式，而是數(shù)字式；（2）由電子元件構(gòu)成，盡量減少機(jī)械部件；（3）采用二進(jìn)制，而不是十進(jìn)制；（4）內(nèi)部存放計(jì)算表；（5）在計(jì)算機(jī)內(nèi)部存貯數(shù)據(jù)。這些原則是十分正確的。（圖）維納在講解控制論。根據(jù)這一理論，一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)完全能進(jìn)行運(yùn)算和記憶。第一節(jié)維納濾波器的時(shí)域解第二節(jié)維納預(yù)測(cè)器第三節(jié)維納濾波器的應(yīng)用設(shè)有一個(gè)線性系統(tǒng)，它的單位脈沖響應(yīng)是　　，當(dāng)

3、輸入一個(gè)觀測(cè)到的隨機(jī)信號(hào)　　，簡(jiǎn)稱觀測(cè)值，且該信號(hào)包含噪聲　　和有用信號(hào)　　，簡(jiǎn)稱信號(hào)，也即則輸出為我們希望輸出得到的　　與有用信號(hào)　盡量接近，因此稱　　為　　的估計(jì)值，用　　來(lái)表示　　，我們就有了維納濾波器的系統(tǒng)框圖．這個(gè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)也稱為對(duì)于　　的一種估計(jì)器。用當(dāng)前的和過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)　　　　稱為濾波；用過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)估計(jì)當(dāng)前的或?qū)?lái)的信號(hào)N>=0，稱為預(yù)測(cè)；用過(guò)去的觀測(cè)值來(lái)估計(jì)過(guò)去的信號(hào)　　　　　　，N>=1，稱為平滑或者內(nèi)插。系統(tǒng)框圖中估計(jì)到的　　信號(hào)和我們期望得到的有

4、用信號(hào)　　不可能完全相同，這里用　　來(lái)表示真值和估計(jì)值之間的誤差(5-3)顯然　　是隨機(jī)變量，維納濾波和卡爾曼濾波的誤差準(zhǔn)則就是最小均方誤差準(zhǔn)則(5-4)５.１維納濾波器的時(shí)域解（TimedomainsolutionoftheWienerfilter）設(shè)計(jì)維納濾波器的過(guò)程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng)　　或傳遞函數(shù)　　的表達(dá)式，其實(shí)質(zhì)就是解維納－霍夫（Wiener－Hopf）方程。我們從時(shí)域入手求最小均方誤差下的　用　　　表示最佳線性濾波器。這里只討論因果可實(shí)現(xiàn)濾波器的設(shè)計(jì)。５.１

5、.１因果的維納濾波器設(shè)　　是物理可實(shí)現(xiàn)的，也即是因果序列：因此，從式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推導(dǎo)：(5-5)(5-6)要使得均方誤差最小，則將上式對(duì)各m＝0，1，…，求偏導(dǎo)，并且等于零，得：從維納－霍夫方程中解出的h就是最小均方誤差下的最佳h，　　　。求到　　　，這時(shí)的均方誤差為最小：５.１.２有限脈沖響應(yīng)法求解維納－霍夫方程設(shè)　　是一個(gè)因果序列且可以用有限長(zhǎng)（N點(diǎn)長(zhǎng)）的序列去逼進(jìn)它，則式(5-5)－(5-10)分別發(fā)生變化：(5-11)(5-12)于是得到N個(gè)線性方程：

6、寫(xiě)成矩陣形式有：簡(jiǎn)化形式：RxxH=Rxs(5-17)式中，H＝[h(0)h(1)…h(huán)(N-1)]′是待求的單位脈沖響應(yīng)RxxH=Rxs只要Rxx是非奇異的，就可以求到H：H=Rxx－1＊Rxs求得H后，這時(shí)的均方誤差為最?。哼M(jìn)一步化簡(jiǎn)得：若信號(hào)與噪聲互不相關(guān)，即，【例5-1】如圖，　　　　　　　，信號(hào)與噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，其中　　　　噪聲是方差為1的單位白噪聲，試設(shè)計(jì)一個(gè)N＝2的維納濾波器來(lái)估計(jì)　　，并求最小均方誤差。解：依題意，已知信號(hào)的自相關(guān)和噪聲的自相關(guān)為：　　　　　　　　　　　代入式解得：　

7、＝0.451，?。?.165。求得最小均方誤差：５.１.３預(yù)白化法求解維納－霍夫方程５.１.３預(yù)白化法求解維納－霍夫方程隨機(jī)信號(hào)都可以看成是由一白色噪聲　激勵(lì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)或模型的響應(yīng)，如圖5.2所示．圖5.2s信號(hào)模型由于　　　　　　　，在圖5.2的基礎(chǔ)上給出的信號(hào)模型，圖5.3所示。把這兩個(gè)模型合并最后得到維納濾波器的信號(hào)模型，圖5.4所示，其中傳遞函數(shù)用B（z）表示。圖5.3x的信號(hào)模型圖5.4維納濾波器的輸入信號(hào)模型白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為　　　　　　　它的z變換就等于　。圖5.2中輸

8、出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為　　，根據(jù)卷積性質(zhì)有(5-22)對(duì)式（5－22）進(jìn)行Z變換得到系統(tǒng)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)的z變換之間的關(guān)系：(5-23)同樣，對(duì)圖5.4進(jìn)行z變換得(5-24)圖5.4中利用卷積性質(zhì)還可以找到互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系：如果已知觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，求它的z變換，然后找到該函數(shù)的成對(duì)零點(diǎn)、極點(diǎn)，取其中在單位圓內(nèi)的那一半零點(diǎn)、極點(diǎn)構(gòu)成　　　另外在單位圓外的零、極點(diǎn)構(gòu)成　　　，這樣就保證了　　是因果的，并且是最小相位系統(tǒng)從圖5.4可得(5-26)由于系統(tǒng)函數(shù)　　的零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，即是一