第03講預(yù)備知識-場論1

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1、第三講場論初步（1）(PreliminaryFieldTheory)主要內(nèi)容：1.場與張量2.張量基本運(yùn)算3.梯度1標(biāo)量、向量、張量與場1.1標(biāo)量、向量、張量物理量按空間維數(shù)分為標(biāo)量、向量和張量。維數(shù)，又稱維度，是數(shù)學(xué)中獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。在物理學(xué)和哲學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)，指獨(dú)立的時空坐標(biāo)的數(shù)目。點(diǎn)是0維，線是1維，面是2維，體是3維。標(biāo)量（Scalar）：只有大小沒有方向，用一個數(shù)和單位即可表示T=T(r,t)ρ=ρ(r,t)向量(Vector)：既有大小又有方向，要用空間三個坐標(biāo)分量表示v=v(r,t)a=a(r,t)二階張量（Tensorof2n

2、dOrder）：用9個元素才能表示的量P=P(r,t)ε=ε(r,t)n階張量（TensorofnthOrder）：3n個元素表示的量從張量的概念來講，標(biāo)量是零階張量，向量是一階張量1.2什么是場(Field)如果全部空間或部分空間的每一點(diǎn)都對應(yīng)某物理量的一個確定值，就說在這個空間里確定了該物理量的一個“場”。也就是說，場是具有物理量的空間。如果這個物理量是標(biāo)量，就稱為標(biāo)量場，如溫度場，密度場；如果是向量就稱為向量場，如速度場；如果是張量，就稱為張量場，如應(yīng)力場、應(yīng)變場等?！皥觥焙秃瘮?shù)(Function)是對應(yīng)的。標(biāo)量場對應(yīng)標(biāo)量函數(shù)，向量

3、場對應(yīng)向量函數(shù)，張量場對應(yīng)張量函數(shù)。場的研究方法是將物理量作為空間位置r和時間t的函數(shù)，t作為參變量處理，即分析t時刻場的情況。不討論各種場的具體物理意義，而從數(shù)學(xué)上研究場的一般規(guī)律的學(xué)科稱為場論(FieldTheory)1.3場的幾何描述標(biāo)量場的等值面在場中t時刻，標(biāo)量函數(shù)φ(r,t)數(shù)值相同的點(diǎn)組成的曲面稱為等值面(Contourplane)。?(r,t)=c(t)（c值不同對應(yīng)不同等值面）等值面直觀地描述了標(biāo)量在場中的分布情況。向量場的向量線向量線(VectorLine)是這樣的線，它上面每一點(diǎn)處切線方向與向量在該點(diǎn)的方向一致向量場

4、a=ai+aj+akxyzaM任意一點(diǎn)M的矢徑r=xi+yj+zkzr矢徑微分dr=dxi+dyj+dzkyox叉積為零：dr×a=0這就是向量線的微分方程(DifferentialEquation)在直角坐標(biāo)系(SystemOfRectangularCoordinates)當(dāng)中表示為dxdydz==aaaxyz解方程得向量線族，向量線族直觀的描述了向量在場中的分布。當(dāng)向量a不為零，且分量a,a,a單值連續(xù)、有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，xyz向量線連續(xù)分布于向量場所在的空間中，且互不相交。向量線互不相交若向量a是流體的速度v(Velocity)，

5、向量線就是流線(FlowLine)。2向量及張量基本運(yùn)算2.1向量運(yùn)算符號規(guī)定愛因斯坦求和符號表達(dá)式中一對符號相同的指標(biāo)，表示求和，稱為愛因斯坦求和符號，它是啞指標(biāo)。ae=ae+ae+ae=aii112233kab+ke?e=k(ab+ab+ab)+3k1ii2jj11122332張量指標(biāo)包括啞指標(biāo)和自由指標(biāo)，在表達(dá)式的某項中，某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，則表示要把該項在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)；在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)兩次。通過啞指標(biāo)可把許多項縮寫成一項，通過自由指標(biāo)又把許多方程縮寫成

6、一個方程?？肆_內(nèi)克δ符號任意兩個正交坐標(biāo)軸單位向量的點(diǎn)積(DotProduct)用δ表示，稱為克ij羅內(nèi)克δ，即：?1i=jei?ej=δij=?（i,j=3,2,1）?0i≠j此處i、j即為自由指標(biāo)，δ表示的含義：ij===,1======0δδδδδδδδδ112233121321233132上式說明：一個單位向量與自身的點(diǎn)乘為1，與相垂直的單位向量點(diǎn)乘為0置換符號任意兩個正交坐標(biāo)軸單位向量的叉積(CrossProduct)可表示為e×e=εeijijkkεijk稱為置換符號，也稱利奇（Ricci）符號，它的取值為：?0i,j,k有2

7、或3個自由指標(biāo)相同?εijk=?1i,j,k=123,231,312偶次置換??-1i,j,k=3212,13,132奇次置換e3置換符號說明：i、j、k取值不同值時，ε取1順時針為負(fù)ijke或-1（6個），其余分量（21個）為零。即：2ε=ε=ε=1ε=ε=ε=?1123231312132213321e逆時針為正1置換法則：任意2個自由指標(biāo)對換后差一個負(fù)號正負(fù)取值規(guī)律：按右圖中，逆時針取值為正，順時針取值為負(fù)。ε與δ之間有如下關(guān)系ijkijεε=δδ?δδijkklmiljmimjl2.2向量運(yùn)算的常用公式（1）a±b=aiei±bie

8、i=(ai±bi)ei（2）a?b=ae?be=abe?e=abδ=abiijjijijijijiieee123（3）a×b=aiei×bjej=aibjei×ej=aibjεijkek=a1