多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則

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1、一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)函數(shù)構(gòu)成了復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo)，且有復(fù)習(xí)第三節(jié)多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)z=f(u,v)是變量u，v的函數(shù)，而u，v又是x，y的函數(shù)，即，如果能構(gòu)成z是x,y的二元復(fù)合函數(shù)如何求出函數(shù)z對自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)呢？問題：法二：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)椒▌t）定理如果函數(shù)u??(x?y)?v??(x?y)都在點(diǎn)(x?y)具有對x及y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z?f(u?v)在對應(yīng)點(diǎn)(u?v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?則復(fù)合函數(shù)z?f[?(x?y)??(x?y)]在點(diǎn)(x?y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在?且1、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為二元函數(shù)的情形鏈?zhǔn)椒▌t：一、多元

2、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)椒▌t）鏈?zhǔn)椒▌t如圖示函數(shù)自變量中間變量z?f(u?v)?u??(x?y)?v??(x?y)復(fù)合關(guān)系圖公式給出z對x的偏導(dǎo)數(shù)是公式(*)與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的對應(yīng)關(guān)系是：偏導(dǎo)數(shù)是由兩項(xiàng)組成的，每項(xiàng)又是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的乘積，公式(*)的這兩條規(guī)律，可以通過函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖得到，即(1)公式(*)的項(xiàng)數(shù)，等于結(jié)構(gòu)圖中z到達(dá)自變量x路徑的個(gè)數(shù).函數(shù)結(jié)構(gòu)中z到達(dá)自變量x的路徑有兩條.第一條是，第二條是，所以公式(*)由兩項(xiàng)組成.(2)公式(*)每項(xiàng)偏導(dǎo)數(shù)乘積因子的個(gè)數(shù),等于該條路徑中函數(shù)及中間變量的個(gè)數(shù).如第一條路徑,有一個(gè)函數(shù)z和一個(gè)中間變量u，因此，第一項(xiàng)就是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)與的乘積.復(fù)合函數(shù)

3、結(jié)構(gòu)雖然是多種多樣，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式也不完全相同，但借助函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，運(yùn)用上面的法則，可以直接寫出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式.這一法則通常形象地稱為鏈?zhǔn)椒▌t.設(shè)z?f(u?v)?u??(x?y)?v??(x?y)?則解法1：?exy[ysin(x?y)?cos(x?y)]??eusinv?1?eucosv?y?eusinv?exy[xsin(x?y)?cos(x?y)]??1?eucosv?x例1設(shè)z=eusinv,u=xy,v=x+y,求xz??和yz??.zuvxy型解法2對于具體的二元復(fù)合函數(shù)，可將中間變量u，v，用x，y代入，則得到，z是x，y二元函數(shù)，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的求法，得定理

4、的推廣：設(shè)z?f(u,v,w),u?j(x,y),v?y(x,y),w?w(x,y),則，．設(shè)z?f(u,v,w),u?j(t),v?y(t),w?w(t),則定理如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)?函數(shù)z?f(u?v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?則復(fù)合函數(shù)z?f[?(t)??(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo)?且有求導(dǎo)公式定理的推廣：2、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形tzuv設(shè)z?f(u?v)?u??(t)?v??(t)?則解：-由公式得-例2設(shè)函數(shù)-)sint(eucost2uvedtdvvzdtduuzdtdzvu2vu22+=??+??=?etcost?etsint?cost?

5、v?cost+u?et?(?sint)解:?et(cost?sint)?cost.設(shè)z?f(u,v,w),u?j(t),v?y(t),w?w(t),則例3設(shè)z=uv+sint,而u=et,v=cost.求全導(dǎo)數(shù)dtdz.定理如果函數(shù)在點(diǎn)具有對及對的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有3復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形zuvxy特殊地其中區(qū)別類似設(shè)z?f(u?x?y)?且u??(x?y)?則例4解:yxyxeyxx2422sin22)sin21(2+++=.解令則zuxy型4、復(fù)合函數(shù)是抽象函數(shù)的情形求可導(dǎo)函數(shù)例5求)(xyxfz

6、+=f的偏導(dǎo)數(shù)。求.解:令u?x?y?z,v?xyz,則w?f(u,v).例6設(shè)w?f(x?y?z,xyz),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求21fyzfxvvfxuufx￠+￠=????+????=??,注：為表達(dá)方便，引入以下記號：由于所以解一元函數(shù)具有微分形式不變性，多元函數(shù)的全微分形式也有類似的性質(zhì)。全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)：無論z是自變量u，v的函數(shù)或中間變量u，v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.全微分形式不變性練習(xí)：1、求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)答案：1、求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（4）令