資源描述：
《運(yùn)用構(gòu)造解題法》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、運(yùn)用構(gòu)造法解題山西太原幼師陸志昌怎樣解題？各有各的說法.筆者在拙著《初中數(shù)學(xué)解題思維竅門》一書中.介紹了幾種竅門.本文擬摘要介紹其中一種構(gòu)造法?愿借《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》的廣泛影響就教于同行.所謂構(gòu)造法就是在尋求解題途徑難以進(jìn)展時?巧妙地構(gòu)造出新的式子或圖形等?往往可取得出奇制勝的效果.其常見類型有以下幾種.一、構(gòu)造數(shù)例1試證在0與1之間有無窮個有理數(shù).證明假設(shè)在0與1之間的有理數(shù)僅有n個：aP過、…、％根據(jù)有理數(shù)與有理數(shù)之積仍為有理數(shù)、便可構(gòu)造一個與坷、a2.…、如都不相同的有理數(shù)p=a】?a2-an.由于a
2、】、a?、…、an都大于0且小于1.顯然OVpVl.這說明在0與1之間至少有n+1個有血數(shù)?此與僅有n個有理數(shù)的假設(shè)相矛盾.故在0與1Z間有無窮個有理數(shù).此例解法淺顯簡易?可謂匠心獨(dú)運(yùn).別岀心裁！二、構(gòu)造等式例2己矢QaVl-b2+b71-a2=1.(1)求證a2+b2=1.這是一道膾炙人口的名題.其證法有多種.司空見慣的方法有：平方法、三角法、幾何法等.但若另辟蹊徑，巧用構(gòu)造法.又可別開生面.另有一番情趣.證明構(gòu)造等式aVl-b2-bVl_a2=m(2)(1)X(2)整理得m=a2-b2??■-ajl-
3、b2Jl?/=小屮(3)(1)+〔3)整理得(「VT夢)2=0.a=71-b2,即J+b2=1.三、構(gòu)造不等式例3實(shí)數(shù)a、b>c、d滿足a+b+c+d=5,a2+b2+c2+d2=7,求a的范圍.解第一個等式的平方與第二個等式的差異，注意題斷所求a可先排除a,最后回歸a,據(jù)此構(gòu)造不等式：(b-c)24-(b-d)2+(c-d)—0,左邊=2(b2+c2+d2)-2(bc+bd+cd)=2(b2+c2+d2)-[(b+c+d)2-(b2+c2+d2)]=3(b2+c2+d2)-(b+c+d)2=-4a2+1
4、0a-4^0此題構(gòu)造不等式求解，相當(dāng)成功，切中要害，出奇制勝!四、構(gòu)造方程(1)⑵(3)例4試確定l+y+z=37+護(hù)+z?=3x5+y5+z5=3的所有實(shí)數(shù)解.解由(1)、(2)得x+y=3-z(4)x2+y2=3-z2(5)(4)、(5)代入并整理得xy=z2-3z+3(6)由(4)、(6)可構(gòu)造二次方程t2-(3-z)t+z2-3z+3=0(7)：?實(shí)數(shù)x、y是(7)的兩根，當(dāng)且僅當(dāng)判別式人=(3-z)2-4(z2—3z+3)20.整理得(z-1)2W0,但是(z-1)2$0,Az-1=0,z=l.
5、此時x=y=l,可見，(1)、(2)只有實(shí)數(shù)解x=l,y=l,z=l.它也適合(3)?故為原方程組的唯一實(shí)數(shù)解.本例由于巧妙地構(gòu)造方程，使解法流暢，一氣呵成！五、構(gòu)造函數(shù)例5己知lxl=ax+1有一個負(fù)根而且沒有正根，試求a的取值范圍.解原方程的根是函數(shù)y=lxl和y=ax+l的圖彖交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程有負(fù)根而無正根，就是過點(diǎn)(0,1)的直線與第二象限的角平分線相交而不與第一象限的角平分線相交，由圖1可見a此題由題設(shè)條件，構(gòu)造函數(shù)，使問題在新的關(guān)系下實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化而使問題解決.六、構(gòu)造反例例6設(shè)AABC的三邊為3
6、、b、c,△A]B]C】的三邊為哲、br勺，若a】，c>C],則S△崩c>$厶人店￡
7、?證明一個三角形一邊有時雖然很長，但若這邊上的高很小.則其面積也很小，試看下列反例：△ABC屮，BC=200,AB=AC=101,△A]B]C沖,A]B]=B]Ci=C]Ai=100?易得：Sd^c=
8、x200x71012-1002=100^7201<1500,SAARP=^-X10000=250073>2500?QA
9、D
10、L
11、4故則命題不真?此題由于構(gòu)造反例，使問題解決得干凈利索！七、構(gòu)造等價(jià)命題例7求證：面積等于1的
12、三角形不能被面積小于2的平行四邊形所覆蓋.證明構(gòu)造等價(jià)命題：“若APQR在ABCD內(nèi)部，則SAPQR只要過P點(diǎn)作MN//AB,證明SAPQESapren?那么這一等價(jià)命題不難證明，從而原命題獲證.這里，正是等價(jià)命題幫助我們找到了解題思路.%1.構(gòu)造圖形例8已知a、b、c、d均為正數(shù).求以JJ,Vb2+c2+d2+2bd,Va2+c2+d2+2ac為邊的三角形面積.解根據(jù)三邊長的特點(diǎn)，聯(lián)想到勾股定理，它們都是直角三角形的斜邊,因此，構(gòu)造以三邊分別作斜邊的直角三角形，然后再拼在一起，在原來三角形基礎(chǔ)上構(gòu)造如圖
13、3的矩形.其中DA=a,AF=c,DB=b,BE=d,則FC=b+d,CE=a+c?=—(ab+da+bc)?這種簡捷明快的解法，給人以美的享受，從以上幾例可以看出，構(gòu)造法具有綜合面廣，靈活性大.技巧性強(qiáng)等特點(diǎn).用這種方法解出的數(shù)學(xué)題常給人以新穎、奇特的感覺?但構(gòu)造法往往要經(jīng)過奇思妙想，因而做起來比較困難，正因?yàn)檫@樣，經(jīng)常試一試這種方法可以鍛煉學(xué)生的思維能力，是培養(yǎng)我們進(jìn)行創(chuàng)造思維教學(xué)的好方法，是值得向?qū)W生介紹的.
