淺談構(gòu)造法解題

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1、淺談構(gòu)造法解題(重慶兼善中學(xué)400700)曾應(yīng)洪構(gòu)造法是一種重要而奇妙的數(shù)學(xué)方法，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，不少數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)用構(gòu)造法成功地解決了數(shù)學(xué)中的諸多難題。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題吋，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的已知條件和結(jié)論作深入恰當(dāng)?shù)姆治?，?gòu)造出問(wèn)題的結(jié)論表達(dá)的數(shù)學(xué)對(duì)象、輔助元素或與結(jié)論相反的矛盾，筑起解決問(wèn)題的橋梁，使得問(wèn)題簡(jiǎn)明快捷地得以解決。本文就構(gòu)造方法的策略及應(yīng)用舉例作膚淺的探討：［例1］求證：定義域?yàn)閑R+)的任意函數(shù)H(x)均可表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和。［略證］設(shè)H(x)=f(x)+g(x)①,其中f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)。把f(x)和g(x)

2、視為未知數(shù)，則①就是一個(gè)“二元”方程，為解出f(x)和g(x),還得構(gòu)造相關(guān)的另一個(gè)方程，由條件H(-x)=f(-x)+/(x)=

3、［H(x)+H(-x)］g(-x)=f(x)-g(x)②，由①②解得：v,不難驗(yàn)證f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)。［例2］已知a,b為實(shí)數(shù)，且b>a>e,e為自然對(duì)數(shù)的底，比較/和b"的大小。［解］Qb>a>e,.°.(構(gòu)造函數(shù))設(shè)f(b)=blna-alnb(b>e),則f@)=a--.Qb>a>e,:.a>1且纟<1,/.fb)>0.bb故函數(shù)f(b)=blna-alnb在(匕+oc)上是增函數(shù)。/(

4、/?)>f(a)=ba-alnb>aa-aa=Q,即blna>alnb,ab>ba.于O的B使AB=1,在OP上取不°BD同于A的C使BC=1,在OQ上取不同于B的D使CD=1,一易得:ZCAB=ACB=一,ZCBD=ZCDB=ZACD=一?從而77OC=OD?又OC=OA+AC=l+2AB?cos絲=1+2cos絲,0D=77jrtcOB+BD=2cos—+2cos——?故有1+2cos——=2cos—+2cos——?77777.tc2tt3tt1艮卩A=coscos——+cos——=—.7772［例4］試求函數(shù)gb)=(a—疔+(J

5、4-宀與的最小值。b［解］如圖，f(a,b)可視作點(diǎn)A(a^4-a2B(b--)b的距離的平方，即為

6、ab

7、20點(diǎn)a所在曲線BA/ty的參數(shù)方程是x-aI，消去a得y=Q4—CTx2+y2=4(y>0l即為上半圓周。點(diǎn)B所在曲線的參數(shù)方程是彳x=b9,消去b得xy=-9,即為雙曲線。A3取最小值時(shí)，4B所在直線必過(guò)圓心，故可先求圓心0到雙曲線上半支的最短距離，然后減去半徑即可。由

8、0B

9、2=x2+y2=x2+^>2Jx2?卑=1&得

10、網(wǎng)斷=3血,JCYX/.AB.=3血—2.???/(%)品=(3血—2)2=22—12血，即為所求。mm』min

11、z“構(gòu)造法”是一種重要而靈活的思維方法，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合。由以上各例可以看出,若能抓住問(wèn)題在形式與結(jié)構(gòu)上的獨(dú)有特征聯(lián)想構(gòu)造，就可使得不少的問(wèn)題用比較簡(jiǎn)捷宜觀的方法獲得解決。