隨機過程及應用：預備知識：特征函數.ppt

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1、一．特征函數的定義及例子設X,Y是實隨機變量,復隨機變量Z=X+jY的數學期望定義為特別預備知識5特征函數注1）costx和sintx均為有界函數,故總存在.2)是實變量t的函數.X是實隨機變量求隨機變量函數的數學期望定義5.1設X是定義在(Ω,F,P)上的隨機變量,稱為X的特征函數.關于X的分布函數的富里埃-司蒂階變換當X是連續(xù)型隨機變量,則當X是離散型隨機變量,則Ex.1單點分布Ex.2兩點分布Ex.3二項分布Ex.4泊松分布Ex.5指數分布Ex.6均勻分布Ex.7正態(tài)分布N(a,σ2)特別對正態(tài)分布N(0,1)，有證明二．特征函數性質性質5.1隨機變量X的特征函數滿足

2、：證許瓦茨不等式(6.1.3)性質5.2隨機變量X的特征函數為則Y=aX+b的特征函數是a,b是常數.Ex.8設η～N(a,σ2),求其特征函數.解設X～N(0,1),有Y=σX+a,且證性質5.3隨機變量X的特征函數在R上一致連續(xù).使時,對t一致地有一般，性質5.4特征函數是非負定的函數，即對任意正整數n,任意復數z1,z2,…,zn,及證注以上性質中一致連續(xù)性，非負定性是本質性的.定理5.1(波赫納—辛欽)函數為特征函數的充分必要條件是在R上一致連續(xù),非負定且定理5.2若隨機變量X的n階矩存在,則X的特征函數的k階導數存在,且下定理給出了特征函數與矩的關系注逆不真.證僅

3、證連續(xù)型情形設X的概率密度為f(x)，有令t=0，得故Ex.9隨機變量X服從正態(tài)分布解故同理，可進一步計算隨機變量X的k階中心矩三．反演公式及惟一性定理由隨機變量X的分布函數可惟一確定其特征函數：問題能否由X的特征函數唯一確定其分布函數？？從而定理5.3（反演公式）設隨機變量X的分布函數和特征函數分別為F(x)和則對F(x)的任意連續(xù)點x1,x2,（x1

4、，概率密度與特征函數互為富氏變換.則推論3隨機變量X是離散型的,其分布律為反演公式證設有Ex.9隨機變量X在[]上服從均勻分布,Y=cosX,利用特征函數求Y的概率密度.解X的概率密度為Y的特征函數為令根據特征函數與分布函數的惟一性定理,知隨機變量Y的概率密度為Ex.10已知隨機變量X的特征函數為試求X的概率分布.解因根據特征函數的惟一性定理,知隨機變量X的分布律為X-202p1/41/21/4四．多維隨機變量的特征函數定義5.4二維隨機變量(X,Y)的特征函數定義為連續(xù)型注多維隨機變量的特征函數定義見P247.離散型例(X,Y)服從二維正態(tài)分布則其特征函數為性質5.5二維

5、隨機變量(X,Y)的特征函數滿足以下性質1.對任意t1,t2∈R,有2.3.在實平面上一致連續(xù).4.性質5.6設二維隨機變量(X,Y)的特征函數為則1.隨機變量的特征函數為2.Z=aX+bY+c的特征函數為特別有證Ex.11設(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,且E(Xk)=k,k=1,2.記求Y=X1+X2的特征函數.解故Y=X1+X2～N(3,12).性質5.7分布函數　　與恒等的充分必要條件是它們的特征函數與恒等..定理5.3隨機向量相互獨立的充要條件是其特征函數滿足證明參見P249.在上式中特別取ti=t，i=1,2,…,n,有推論1設隨機變量相互獨立,令,則Y的特征函

6、數為注意：定理5.3與推論1的區(qū)別？練習：X~U(0,1),P{Y=0}=P{Y=1}=1/2,X,Y相互獨立，試確定X+Y的分布？Ex.12隨機變量Y～B(n,p),寫出其特征函數.解二項分布隨機變量Y可表示為且Xk～B(1,p),(k=1,2,…,n)相互獨立,故Y的特征函數為推論2若隨機變量相互獨立同分布,則的特征函數為Ex.13若X1,X2,…,Xn相互獨立,且Xk～N(0,1),證明也服從N(0,1)分布.證Xk的特征函數為,則從而由惟一性定理知,Y～N(0,1).