函數(shù)及其表示知識框架.doc

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1、函數(shù)及其表示模塊框架高考要求函數(shù)及其表示要求層次重難點函數(shù)的概念與表示C理解函數(shù)的概念及對函數(shù)符號的理解；會求函數(shù)的定義域、簡單的函數(shù)的值域；會作出一些基本函數(shù)：一次函數(shù)，二次函數(shù)等函數(shù)的圖象；理解分段函數(shù)的定義及其應(yīng)用；理解映射的概念．映射A函數(shù)的表示B知識內(nèi)容一、知識點1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)

2、的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)

3、x∈A}叫做函數(shù)的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x。2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域（1）解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；②限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點

4、，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；③實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實際意義。（2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運用不等式的各種性質(zhì)）；④函數(shù)法（運用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。3．兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應(yīng)法則為

5、函數(shù)的兩個基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)。4．區(qū)間（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示。5．映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”。函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對

6、應(yīng)就叫映射。注意：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹?。?）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。6．常用的函數(shù)表示法（1）解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式；（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系；（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系。7．分段函數(shù)若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；8．復(fù)合函數(shù)

7、若y=f(u)，u=g(x),x?(a，b)，u?(m,n)，那么y=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。二、重點題型解析1．求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個等式：解方程組法；（5）應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。2．求函數(shù)定義域一般有三類問題：（1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；（2）實際問題：函數(shù)的定

8、義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實際問題有意義；（3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：①掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域；②若已知的定義域，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由解出。3．求函數(shù)值域的各種方法函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的。其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域。①直接法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為{x

9、x

10、0}，值域為{y

11、y0}；二次函數(shù)的定義域為R，當(dāng)a>0時，值域為{}；當(dāng)a<0時，值域為{}