大學(xué)課件 高等數(shù)學(xué) 全微分.ppt

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1、全微分的定義可微的條件小結(jié)思考題作業(yè)totaldifferentiation第三節(jié)全微分第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1函數(shù)的變化情況.偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時(shí)函數(shù)的變化率.現(xiàn)在來(lái)討論當(dāng)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí)全微分2先來(lái)介紹全增量的概念為了引進(jìn)全微分的定義,全增量.域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量全增量.全微分一、全微分的定義3全微分的定義處的全微分.全微分可表示為可微分,在點(diǎn)則稱稱為函數(shù)記作即函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí),則稱可微函數(shù).這函數(shù)在D內(nèi)的而不依賴于4可微與偏導(dǎo)數(shù)存在有何關(guān)系呢？微分系數(shù)注

2、全微分有類似一元函數(shù)微分的A=?B=?兩個(gè)性質(zhì):全微分全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).的線性函數(shù);高階無(wú)窮小.51.可微分的必要條件由下面的定理來(lái)回答：(可微必可導(dǎo)).定理1(可微必要條件)如果函數(shù)可微分,且函數(shù)的全微分為全微分二、可微的條件6證總成立,同理可得上式仍成立,此時(shí)的某個(gè)鄰域如果函數(shù)可微分,全微分可微分,7都不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).多元函數(shù)在某點(diǎn)可微是否保證事實(shí)上,顯然,答:由全微分的定義有可得多元函數(shù)可微必連續(xù)連續(xù)的定義不連續(xù)的函數(shù)上一節(jié)指出,多元函數(shù)在某點(diǎn)各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)即使都存在,函

3、數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)如果函數(shù)可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).一定是不可微的.全微分8多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在全微分存在．如，下面舉例說(shuō)明二元函數(shù)可微一定存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在微分存在．回憶:一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微的關(guān)系?但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微.(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得)由定理1知全微分9則說(shuō)明它不能隨著而趨于0,因此,如果考慮點(diǎn)沿直線趨近于全微分10說(shuō)明各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.這也是一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)出現(xiàn)的又函數(shù)是可微分的.多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存

4、在.一個(gè)原則區(qū)別.現(xiàn)再假定函數(shù)的則可證明全微分各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),112.可微分的充分條件證在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在的意思.定理2(今后常這樣理解).用拉氏定理(微分充分條件)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù),就含有偏導(dǎo)數(shù)全微分偏導(dǎo)數(shù)12全微分13同理全微分14在原點(diǎn)(0,0)可微.并非必要條件.如事實(shí)上,注定理2的條件(即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù))可微的充分全微分僅是函數(shù)在點(diǎn)條件,同樣,15全微分在原點(diǎn)(0,0)可微.于是,16即函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)(0,0)可微.但是,事實(shí)上,偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).全

5、微分所以,特別是不存在.即fx(x,y)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).極限fy(x,y)在原點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).同理可證,函數(shù)在一點(diǎn)可微,此題說(shuō)明:在這點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).17記全微分為通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.一元函數(shù)的許多微分性質(zhì),(一階)全微分形式的不變性.同樣有:習(xí)慣上,稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．這里仍適用.全微分如三元函數(shù)則18解全微分例計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)的全微分.所以19解例全微分20答案練習(xí)全微分21全微分解例試比較的值.22全微分解例計(jì)算

6、的近似值.利用函數(shù)在點(diǎn)處的可微性,可得23全微分2002年考研數(shù)學(xué)一,3分考慮二元函數(shù)f(x,y)的下面4條性質(zhì):選擇題①f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù),②f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),③f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,④f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用“　　　”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q,則有(A)②③①.(B)③②①.(C)③④①.(D)③①④.24上海交大考題(95級(jí))連續(xù).D全微分結(jié)論不正確的是().都存在,25上海交大考題(98級(jí))D全微分2

7、6上海交大考題(93級(jí))上海交大考題(96級(jí))全微分27上海交大考題(97級(jí))是非題(非)事實(shí)上,全微分28全微分的定義全微分的計(jì)算多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系(注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別)全微分三、小結(jié)可微分的必要條件、可微分的充分條件29對(duì)一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：可微可導(dǎo)連續(xù)有極限對(duì)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系：偏導(dǎo)連續(xù)可微連續(xù)有極限有偏導(dǎo)全微分30全微分思考題1全微分公式恒成立嗎?不一定.考慮函數(shù)31全微分某城市的大氣污染指數(shù)P取決于兩個(gè)因素,即空氣中固體廢物

8、的數(shù)量x和空氣中有害氣體的數(shù)量y.它們之間的關(guān)系可表示成(1)計(jì)算和并說(shuō)明它們的實(shí)際意義.(2)該城市空氣污染的情況怎樣?(3)城市空氣污染的狀況是否有所改善.思考題232作業(yè)習(xí)題8-3(24頁(yè))1.(3)(4)2.3.5.補(bǔ)充(A)偏導(dǎo)數(shù)不存在;(B)不可微;(C)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù);(D)可微.全微分(選擇正確答案)33