圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

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1、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用尹建堂?一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)源于它的切線和法線的性質(zhì)，因而為正確理解與掌握其光學(xué)性質(zhì)，就要掌握其切線、法線方程的求法及性質(zhì)。設(shè)P（）為圓錐曲線（A、B、C不同時(shí)為零）上一定點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為：?。（該方程與已知曲線方程本身相比，得到的規(guī)律就是通常所說的“替換法則”，可直接用此法則寫出切線方程）。該方程的推導(dǎo)，原則上用“△法”求出在點(diǎn)P處的切線斜率，進(jìn)而用點(diǎn)斜式寫出切線方程，則在點(diǎn)P處的法線方程為?。1、拋物線的切線、法線性質(zhì)??經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)作一條直線平

2、行于拋物線的軸，那么經(jīng)過這一點(diǎn)的法線平分這條直線和這一點(diǎn)的焦半徑的夾角。如圖1中。??事實(shí)上，設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，則切線MT的方程可由替換法則，得，即，斜率為，于是得在點(diǎn)M處的法線方程為????令，得法線與x軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為，??所以??又焦半徑??所以，從而得即當(dāng)點(diǎn)M與頂點(diǎn)O重合時(shí)，法線為x軸，結(jié)論仍成立。所以過M的法線平分這條直線和這一點(diǎn)的焦半徑的夾角。也可以利用點(diǎn)M處的切線方程求出，則，又故，從而得也可以利用到角公式來證明拋物線的這個(gè)性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光

3、線平行于拋物線的軸”。?2、橢圓的切線、法線性質(zhì)??經(jīng)過橢圓上一點(diǎn)的法線，平分這一點(diǎn)的兩條焦點(diǎn)半徑的夾角。如圖2中??證明也不難，分別求出，然后用到角公式即可獲證。??橢圓的這個(gè)性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上”。3、雙曲線的切線、法線性質(zhì)??經(jīng)過雙曲線上一點(diǎn)的切線，平分這一點(diǎn)的兩條焦點(diǎn)半徑的夾角，如圖3中。仍可利用到角公式獲證。????這個(gè)性質(zhì)的光學(xué)意義是：“從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個(gè)焦

4、點(diǎn)射出的一樣”。?二、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用光學(xué)性質(zhì)在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛地應(yīng)用。這里僅舉例說明這些光學(xué)性質(zhì)在解圓錐曲線的有關(guān)問題中的應(yīng)用。????應(yīng)用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)解題，特別是切線問題是十分方便的。其間要注意一個(gè)基本關(guān)系式的應(yīng)用，即“過投射點(diǎn)的曲線的切線與入射線、反射線成等角”。如圖4，MN切曲線C于點(diǎn)P，則∠APM＝∠BPN。這是很容易由物理學(xué)的“入射角等于反射角”及平面幾何中“等角的余角相等來證明的。例1??求證：橢圓和雙曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直。??分析：如圖5，用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)證明∠1＋∠

5、3＝90°即可。??證明：如圖5，兩曲線的公共焦點(diǎn)，設(shè)P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，PQ、PR分別為橢圓、雙曲線的切線，連，并延長，由橢圓光學(xué)性質(zhì)，推得∠1＝∠2；由雙曲線光學(xué)性質(zhì)，得∠3＝∠4。??又∠2＝∠5，∠4＝∠6（對頂角相等），??所以∠1＝∠5，∠3＝∠6（等量代換）。??又∠1＋∠3＋∠5＋∠6＝180°，??所以∠1＋∠3＝90°，即PQ⊥PR，命題得證。??評注：（1）本題也可采用代數(shù)運(yùn)算證出的方法來證明，但比較復(fù)雜。這里采用光學(xué)性質(zhì)證明法則直觀簡捷。（2）由本題得到一個(gè)一般性命題：焦點(diǎn)相同的一個(gè)

6、橢圓與一雙曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直，于是有定義：兩圓錐曲線在交點(diǎn)處的兩條切線互相垂直，叫做這兩曲直交。?例2??如圖6，已知是橢圓的焦點(diǎn)，分別是在橢圓任一切線CD上的射影。（1）求證：為定值；（2）求的軌跡方程。分析：（1）欲證為定值，即證為定值（由光學(xué)性質(zhì)推得），從而知應(yīng)用余弦定理于即可獲證。）（2）求出分別為定值即知其軌跡，易得軌跡方程。證明：（1）設(shè)Q為切線，由橢圓光學(xué)性質(zhì)推知設(shè)為，則所以又，則在中，則所以為常數(shù)，即定值。（2）設(shè)點(diǎn)O在CD上的射影為M，則OM是直角梯形的中位線，于是有。在中，同理所以

7、的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，其方程為?例3??設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，以F與A（4，4）為焦點(diǎn)作橢圓，使其與已知拋物線有公共點(diǎn)（如圖7），當(dāng)長軸最短時(shí)，求橢圓方程。??分析：求解的關(guān)鍵是光線FP的反射線PA平行于x軸。??解：設(shè)以點(diǎn)A（4，4）、F（4，0）為焦點(diǎn)的橢圓為（a為長半軸長）。①??再設(shè)P?為拋物線與橢圓的公共點(diǎn)，??由橢圓第一定義知：???????????②??即長軸長2a等于拋物線上一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、F距離之和，若2a最小，當(dāng)且僅當(dāng)橢圓與拋物線相切。此時(shí)，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知，光線FP的反

8、射線PA平行于x軸。??所以P（1，4）。由②知??所以所求的橢圓方程為?例4??如圖8，已知探照燈的軸截面是拋物線，平行于對稱軸的光線于此拋物線上的入射點(diǎn)、反射點(diǎn)分別為P、Q，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，當(dāng)a為何值時(shí)，從入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)Q的路程PQ最短？??分析：設(shè)，由拋物線光學(xué)性質(zhì)知PQ過焦點(diǎn)，故可用弦長公式建立目標(biāo)函數(shù)，求出最小值條件a即可。??解：由拋物線光學(xué)性質(zhì)知光線PQ必過其焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則直線PQ