探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

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1、探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用學(xué)完圓錐曲線方程后,我對圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生了興趣,對其進(jìn)行了證明及探究,一下是一些成果。?一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)源于它的切線和法線的性質(zhì),因而為正確理解與掌握其光學(xué)性質(zhì),就要掌握其切線、法線方程的求法及性質(zhì)。設(shè)P()為圓錐曲線(A、B、C不同時為零)上一定點(diǎn),則在該點(diǎn)處的切線方程為:?。(該方程與已知曲線方程本身相比,得到的規(guī)律就是通常所說的“替換法則”,可直接用此法則寫出切線方程)。該方程的推導(dǎo),原則上用“△法”求出在點(diǎn)P處的切線斜率,進(jìn)而用點(diǎn)斜式寫出切線方程,則在點(diǎn)P處的法線方程為?。1、拋物線的切線、法線性質(zhì)??經(jīng)過拋物線上一

2、點(diǎn)作一條直線平行于拋物線的軸,那么經(jīng)過這一點(diǎn)的法線平分這條直線和這一點(diǎn)的焦半徑的夾角。如圖1中。??事實(shí)上,設(shè)為拋物線上一點(diǎn),則切線MT的方程可由替換法則,得,即,斜率為,于是得在點(diǎn)M處的法線方程為????令,得法線與x軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為,??所以??又焦半徑??所以,從而得即當(dāng)點(diǎn)M與頂點(diǎn)O重合時,法線為x軸,結(jié)論仍成立。所以過M的法線平分這條直線和這一點(diǎn)的焦半徑的夾角。也可以利用點(diǎn)M處的切線方程求出,則,又故,從而得也可以利用到角公式來證明拋物線的這個性質(zhì)的光學(xué)意義是:“從焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后,反射光線平行于拋物線的軸”。?2、橢圓的切線、法線性質(zhì)??經(jīng)過橢圓上

3、一點(diǎn)的法線,平分這一點(diǎn)的兩條焦點(diǎn)半徑的夾角。如圖2中??證明也不難,分別求出,然后用到角公式即可獲證。??橢圓的這個性質(zhì)的光學(xué)意義是:“從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過橢圓反射后,反射光線交于橢圓的另一個焦點(diǎn)上”。3、雙曲線的切線、法線性質(zhì)??經(jīng)過雙曲線上一點(diǎn)的切線,平分這一點(diǎn)的兩條焦點(diǎn)半徑的夾角,如圖3中。仍可利用到角公式獲證。????這個性質(zhì)的光學(xué)意義是:“從雙曲線的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線是散開的,它們就好像是從另一個焦點(diǎn)射出的一樣”。?二、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用光學(xué)性質(zhì)在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)上有著廣泛地應(yīng)用。這里僅舉例說明這些光學(xué)性質(zhì)在解圓錐曲線的有關(guān)問題中的

4、應(yīng)用。????應(yīng)用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)解題,特別是切線問題是十分方便的。其間要注意一個基本關(guān)系式的應(yīng)用,即“過投射點(diǎn)的曲線的切線與入射線、反射線成等角”。如圖4,MN切曲線C于點(diǎn)P,則∠APM=∠BPN。這是很容易由物理學(xué)的“入射角等于反射角”及平面幾何中“等角的余角相等來證明的。下面給出幾個例子,說明一下光學(xué)性質(zhì)在解題中的應(yīng)用例1??求證:橢圓和雙曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直。??分析:如圖5,用圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)證明∠1+∠3=90°即可。??證明:如圖5,兩曲線的公共焦點(diǎn),設(shè)P為兩曲線的一個交點(diǎn),PQ、PR分別為橢圓、雙曲線的切線,連,并延長,由橢圓光學(xué)性質(zhì),推得∠1=∠2;由雙曲線光

5、學(xué)性質(zhì),得∠3=∠4。??又∠2=∠5,∠4=∠6(對頂角相等),??所以∠1=∠5,∠3=∠6(等量代換)。??又∠1+∠3+∠5+∠6=180°,??所以∠1+∠3=90°,即PQ⊥PR,命題得證。??評注:(1)本題也可采用代數(shù)運(yùn)算證出的方法來證明,但比較復(fù)雜。這里采用光學(xué)性質(zhì)證明法則直觀簡捷。(2)由本題得到一個一般性命題:焦點(diǎn)相同的一個橢圓與一雙曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直,于是有定義:兩圓錐曲線在交點(diǎn)處的兩條切線互相垂直,叫做這兩曲直交。?例2??如圖6,已知是橢圓的焦點(diǎn),分別是在橢圓任一切線CD上的射影。(1)求證:為定值;(2)求的軌跡方程。分析:(1)欲證為定值,即證

6、為定值(由光學(xué)性質(zhì)推得),從而知應(yīng)用余弦定理于即可獲證。)(2)求出分別為定值即知其軌跡,易得軌跡方程。證明:(1)設(shè)Q為切線,由橢圓光學(xué)性質(zhì)推知設(shè)為,則所以又,則在中,則所以為常數(shù),即定值。(2)設(shè)點(diǎn)O在CD上的射影為M,則OM是直角梯形的中位線,于是有。在中,同理所以的軌跡是以O(shè)為圓心,a為半徑的圓,其方程為?例3??設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,以F與A(4,4)為焦點(diǎn)作橢圓,使其與已知拋物線有公共點(diǎn)(如圖7),當(dāng)長軸最短時,求橢圓方程。??分析:求解的關(guān)鍵是光線FP的反射線PA平行于x軸。??解:設(shè)以點(diǎn)A(4,4)、F(4,0)為焦點(diǎn)的橢圓為(a為長半軸長)。①??再設(shè)P?為拋物線與橢

7、圓的公共點(diǎn),??由橢圓第一定義知:???????????②??即長軸長2a等于拋物線上一點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、F距離之和,若2a最小,當(dāng)且僅當(dāng)橢圓與拋物線相切。此時,由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知,光線FP的反射線PA平行于x軸。??所以P(1,4)。由②知??所以所求的橢圓方程為?例4??如圖8,已知探照燈的軸截面是拋物線,平行于對稱軸的光線于此拋物線上的入射點(diǎn)、反射點(diǎn)分別為P、Q,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為,當(dāng)a為何值時,從入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)Q的路程PQ最短???分析:設(shè),由拋

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