曲線積分和曲面積分(I)

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1、曲線積分和曲面積分曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義計算定義計算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分一、主要內(nèi)容曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義性質(zhì)計算公式兩者關(guān)系對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義實質(zhì)分、粗、和、精分、粗、和、精背景曲面塊的質(zhì)量流向曲面指定側(cè)的流量性質(zhì)線性、可加、與側(cè)無關(guān)線性、可加、與側(cè)有關(guān)計算一代、二換、三投影一代、二投、三定號聯(lián)系曲面積分Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系或推廣推廣定積分曲線積分重積分曲面積分計算計算計算Green公式Stoke

2、s公式Guass公式（二）各種積分之間的聯(lián)系關(guān)于對稱性對面積的曲面積分與側(cè)無關(guān)，具有與三重積分相類似的奇偶性你對稱，我奇偶積分曲面對稱于坐標面，被積函數(shù)關(guān)于另一個變量具有奇偶性對坐標的曲面積分的對稱性比較復雜，一般不直接使用，可利用兩類曲面積分之間的關(guān)系先化為對面積的曲面積分，再使用對稱性關(guān)于對面積的曲面積分的應用曲面面積曲面質(zhì)量重心坐標轉(zhuǎn)動慣量二、典型例題例1求橢圓柱面位于xoy面上方和平面z=y下方的那部分的側(cè)面積解一易見曲面對稱于yoz面解二對弧長的曲線積分的幾何意義：柱面上的曲邊梯形的面積側(cè)面積注曲面面積的計算法SDxy曲頂柱體的表面積如圖

3、曲頂柱體，例2計算及平面z=1,z=2所圍立體的表面的外側(cè)解一由Gauss公式解二上側(cè)下側(cè)外側(cè)（用極坐標）解由對稱性例4計算所截下的部分解積分曲面關(guān)于yoz面、zox面對稱被積函數(shù)

4、xyz

5、關(guān)于x和y是偶函數(shù)由對稱性例5計算解由對稱性例6計算繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面的下側(cè)解補上曲面取上側(cè)則由Gauss公式例7解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系向量點積法例8解利用向量點積法解(如下圖)例10計算的外表面解一先計算下側(cè)上側(cè)同理解二由Gauss公式=0（用對稱性）例11計算曲面積分解考慮使用Gauss公式但從幾何上看，積分曲面是一個開口朝下的“碗”扣在xoy坐標面

6、上，與xoy坐標面的截痕為故曲面不封閉，應用z=0（下側(cè)）封住碗口但要注意在（0，0，0）不存在而（0，0，0）又在z=0上，故須挖去（0，0，0）考慮到P,Q,R的分母為為簡化計算用半徑充分小的小球面挖去原點下側(cè)故由Gauss公式測　驗　題測驗題答案