函數(shù)的值域與最值

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1、新希望培訓(xùn)學(xué)校資料MATHEMATICS函數(shù)的值域與最值知識梳理一、相關(guān)概念1、值域：函數(shù)，我們把函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。2、最值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。記作最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。記作注意

2、：①函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；②函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。求函數(shù)最值常用方法和函數(shù)值域的方法基本相同。若函數(shù)的最大、最小值求出來了，值域也就知道了，反之，若求出的函數(shù)的值域為非開區(qū)間，函數(shù)的最大或最小值也等于求出來了，因此，求函數(shù)的最值和值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問不同而已。二、確定函數(shù)值域的原則1、當函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的值域指表格中實數(shù)的集合；01231234則值域為

3、{1，2，3，4}2、函數(shù)的圖像給出時，函數(shù)的值域是指圖像在軸上的投影所覆蓋的實數(shù)的集合；3、函數(shù)用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定；4、由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義決定。三、基本函數(shù)的值域1、一次函數(shù)的定義域為R，值域為R；2、二次函數(shù)的定義域為R，新希望培訓(xùn)學(xué)校資料MATHEMATICS3、反比例函數(shù)的定義域為{x

4、x0}，的值域為4、指數(shù)函數(shù)的值域為。5、對數(shù)函數(shù)的值域為R；6、分式函數(shù)的值域為。7、正弦函數(shù),余弦函數(shù)的值域都是。8、正切函數(shù),的值

5、域為R。四、求函數(shù)值域的方法函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域求函數(shù)值域的常用方法：觀察法、直接法、配方法、分離變量法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法　數(shù)形結(jié)合法（圖像法）導(dǎo)數(shù)法　數(shù)形結(jié)合法、判別式法、部分分式、均值不等式、換元法、不等式法等無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域無論用什么方法求最值，都要檢查“等號”是否成立，不等式法及判別式法尤其如此

6、。常用方法：（1）觀察法(用非負數(shù)的性質(zhì)，如：；；等)例如：求下列函數(shù)的值域：;變式：（2）直接法：利用常見函數(shù)的值域來求，例如：下列函數(shù)中值域是（0，+）的是（）A．B.C.D.新希望培訓(xùn)學(xué)校資料MATHEMATICS解析：通過基本函數(shù)的值域可知：A的值域為[0,+）,C的值域為[0,1],D的值域為[2,+).答案：B（3）配方法：?？赊D(zhuǎn)化為二次函數(shù)型，配成完全平方式，根據(jù)變量的取值范圍，然后利用二次函數(shù)的特征來求最值；例：求值域：；解析：通過配方可得；開口向上，所以當時，函數(shù)取最小值；當x

7、時，在時，函數(shù)的最小值為；最大值在x=3時取到，；故其值域為[,13];練習(xí)：例：求函數(shù)的值域。解：本題中含有二次函數(shù)可利用配方法求解,為便于計算不妨設(shè):配方得:利用二次函數(shù)的相關(guān)知識得,從而得出：。說明：在求解值域(最值)時,遇到分式.根式.對數(shù)式等類型時要注意函數(shù)本身定義域的限制,本題為：。變式1：求函數(shù)y=的值域.（答：（0,5]）變式2：當時，函數(shù)在時取得最大值，則的取值范圍是___（答：）；變式3：（1）求最值。（-----動軸定區(qū)間）（2）求的最值（----------定軸動區(qū)間）變

8、式4：已知sinx＋siny＝，則函數(shù)μ＝sinx－cos2y的最大值為________；最小值為_________。答案：。解析：（4）換元法（代數(shù)換元法）新希望培訓(xùn)學(xué)校資料MATHEMATICS通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，化歸思想；例、求函數(shù)的值域。解：由于題中含有不便于計算，但如果令：注意從而得：變形得即：點評：在使用換元法換元時一定要注意新變量的范圍，否則將會發(fā)生錯誤。變式1：求函數(shù)的值域.解析：令（t0），則，故；用

9、配方法求的y的值域為。變式2：的值域為_____（答：）；變式3：的值域為____（答：）；變式4：函數(shù)的值域為____（答：[，1]）(提示：三角代換)變式5：求函數(shù)的值域（答：[,8]）(提示：令t=，)。變式6：已知是圓上的點，試求的值域。解：在三角函數(shù)章節(jié)中我們學(xué)過：注意到可變形為：令則p)即故例：試求函數(shù)的值域。B解：題中出現(xiàn)而由此聯(lián)想到將視為一整體，令由上面的關(guān)系式易得故原函數(shù)可變形為：新希望培訓(xùn)學(xué)校資料MATHEMATICS（5）分離常數(shù)法（分式轉(zhuǎn)化法）；對分子.分母有相似的項某些