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《函數(shù)的值域與最值》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、函數(shù)的值域與最值知識(shí)梳理一、相關(guān)概念1、值域：函數(shù)，我們把函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。2、最值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。記作最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。記作注意：①函數(shù)最大（?。┦紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；0≥M
2、）。求函數(shù)最值常用方法和函數(shù)值域的方法基本相同。若函數(shù)的最大、最小值求出來了，值域也就知道了，反之，若求出的函數(shù)的值域?yàn)榉情_區(qū)間，函數(shù)的最大或最小值也等于求出來了，因此，求函數(shù)的最值和值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問不同而已。二、確定函數(shù)值域的原則1、當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域指表格中實(shí)數(shù)的集合；01231234則值域?yàn)閧1，2，3，4}2、函數(shù)的圖像給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖像在軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)的集合；3、函數(shù)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；4、由實(shí)際問題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義決定。三、基
3、本函數(shù)的值域1、一次函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；2、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，3、反比例函數(shù)的定義域?yàn)閧x
4、x0}，的值域?yàn)?、指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)椤?、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽；6、分式函數(shù)的值域?yàn)椤?、正弦函數(shù),余弦函數(shù)的值域都是。8、正切函數(shù),的值域?yàn)镽。四、求函數(shù)值域的方法函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域求函數(shù)值域的常用方法：觀察法、直接法、配方法、分離變量法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法 數(shù)形結(jié)合法（圖像法
5、）導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、判別式法、部分分式、均值不等式、換元法、不等式法等無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域無論用什么方法求最值，都要檢查“等號(hào)”是否成立，不等式法及判別式法尤其如此。常用方法：（1）觀察法(用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，如：；；等)例如：求下列函數(shù)的值域：;變式：（2）直接法：利用常見函數(shù)的值域來求，例如：下列函數(shù)中值域是（0，+）的是（）A．B.C.D.解析：通過基本函數(shù)的值域可知：A的值域?yàn)閇0,+）,C的值域?yàn)閇0,1],D的值域?yàn)閇2,+).答案：B（3）配方法：常可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型，配成完全平方式，根據(jù)變量的取
6、值范圍，然后利用二次函數(shù)的特征來求最值；例：求值域：；解析：通過配方可得；開口向上，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值；當(dāng)x時(shí)，在時(shí)，函數(shù)的最小值為；最大值在x=3時(shí)取到，；故其值域?yàn)閇,13];練習(xí)：例：求函數(shù)的值域。解：本題中含有二次函數(shù)可利用配方法求解,為便于計(jì)算不妨設(shè):配方得:利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得,從而得出：。說明：在求解值域(最值)時(shí),遇到分式.根式.對(duì)數(shù)式等類型時(shí)要注意函數(shù)本身定義域的限制,本題為：。變式1：求函數(shù)y=的值域.（答：（0,5]）變式2：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，則的取值范圍是___（答：）；變式3：（1）求最值。（--
7、---動(dòng)軸定區(qū)間）（2）求的最值（----------定軸動(dòng)區(qū)間）變式4：已知sinx＋siny＝，則函數(shù)μ＝sinx－cos2y的最大值為________；最小值為_________。答案：。解析：（4）換元法（代數(shù)換元法）通過變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，化歸思想；例、求函數(shù)的值域。解：由于題中含有不便于計(jì)算，但如果令：注意從而得：變形得即：點(diǎn)評(píng)：在使用換元法換元時(shí)一定要注意新變量的范圍，否則將會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。變式1：求函數(shù)的值域.解析：令（t0），則，故；用配方法求的y的值
8、域?yàn)椤Ｗ兪?：的值域?yàn)開____（答：）；變式3：的值域?yàn)開___（答：）；變式4：函數(shù)的值域?yàn)開___（答：[，1]）(提示：三角代換)變式5：求函數(shù)的值域（答：[,8]）(提示：令t=，)。變式6：已知是圓上的點(diǎn)，試求的值域。解：在三角函數(shù)章節(jié)中我們學(xué)過：注意到可變形為：令則p)即故例：試求函數(shù)的值域。解：題中出現(xiàn)而由此聯(lián)想到將視為一整體，令由上面的關(guān)系式易得故原函數(shù)可變形為：（5）分離常數(shù)法（分式轉(zhuǎn)化法）；對(duì)分子.分母有相似的項(xiàng)某些分式函數(shù)，可通過分離常數(shù)法，化成(常數(shù))的形式來求值域．例：求函數(shù)的值域。解:觀察分子、分母中均含有項(xiàng)
9、,可利用部分分式法；則有不妨令：從而注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)排除,因?yàn)樽鳛榉帜?所故另解：觀察知道本題中分子較為簡(jiǎn)單,可令,求出的值域,進(jìn)而可得到y(tǒng)的值域。（6）逆求法（反求法）：通過反解，用來
