高中論文：淺談數(shù)形結(jié)合的解題應(yīng)用

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1、淺談數(shù)形結(jié)合的解題應(yīng)用　內(nèi)容摘要：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它用數(shù)的精確性來(lái)闡明圖形所具有的某種屬性，同時(shí)，用圖形的直觀性來(lái)表現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)與形在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，它們是一個(gè)不可分割的整體。縱觀近年來(lái)的高考題發(fā)現(xiàn)，融數(shù)與形的試題屢見(jiàn)不鮮，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位。而大量事實(shí)反映，恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，進(jìn)而優(yōu)化解題途徑，達(dá)到事半功倍的效果。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合在集合、函數(shù)最值、方程與不等式、線性規(guī)劃、解析

2、幾何、立體幾何等問(wèn)題中，都有非常重要的作用。而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類比、發(fā)掘、剖析數(shù)學(xué)問(wèn)題中所具有的幾何模型，對(duì)于幫助學(xué)生深化思維，擴(kuò)展知識(shí)，提高解題效率都有很大的幫助。關(guān)鍵詞：數(shù)；形；數(shù)形結(jié)合曾經(jīng)的高中數(shù)學(xué)教材分為代數(shù)、立體幾何、解析幾何三個(gè)部分，而現(xiàn)行的高中教材僅有一本——數(shù)學(xué)，這更有利于數(shù)與形的結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難人微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！睌?shù)形結(jié)合的目的就在于以形助數(shù)，那到底“形”是怎樣助“數(shù)”的呢，數(shù)形結(jié)合的魅力又到底在哪里

3、呢？下面根據(jù)自己這幾年來(lái)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合實(shí)例談?wù)勛约簩?duì)巧用10數(shù)形結(jié)合思想解題的一些認(rèn)識(shí)。一．?dāng)?shù)形結(jié)合思想在集合問(wèn)題中的應(yīng)用。例1：設(shè)集合M＝{(x,y)

4、x2＋y2＝1,x∈R,y∈R}，N＝{(x,y)

5、x2－y＝0,x∈R,y∈R}，則集合M∩N中元素的個(gè)數(shù)為（?。〢．1　　　　　　　B．2　　　　　　　C．3　　　　　　D．4分析：若此題直接聯(lián)立方程組將得到，雖然可解出　的值，進(jìn)而再解出值，但這將花掉較多時(shí)間。實(shí)際上，若我們仔細(xì)觀察將不難發(fā)現(xiàn)，此兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)就是方程x2＋y2＝1所

6、表示的圓與x2－y＝0所表示的拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，很明顯，由圖可知，應(yīng)該有２個(gè)交點(diǎn)，故兩集合就有２個(gè)元素。例２：已知全集，Ｍ、Ｎ是是Ｕ的兩個(gè)子集，且滿足，，，求Ｍ、Ｎ。U３５ＭＮ７191113217分析：此題是集合問(wèn)題中一道典型的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，它無(wú)法通過(guò)運(yùn)算求解，只能借助于形的幫助，方能輕松解決。根據(jù)題目條件可將各元素作在韋恩圖的相應(yīng)集合內(nèi)（如右圖），由圖可知道。二．?dāng)?shù)形結(jié)合思想在函數(shù)最值及值域問(wèn)題中的應(yīng)用。例1：函數(shù)的最小值為10分析：此題考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用，若問(wèn)題得不到恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，那么求解

7、此題就沒(méi)有可能，此問(wèn)題怎樣轉(zhuǎn)化才行呢：如此，原函數(shù)的最小值就轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離和的最小值求解問(wèn)題，由圖可知道，由于點(diǎn)始終在軸上滑動(dòng)，所以，最小值就是點(diǎn)與點(diǎn)的距離例2：已知，則的取值范圍為分析：此問(wèn)題可利用二元一次方程將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題后，利用常數(shù)分離法將化為后利用單調(diào)性進(jìn)行求解，但做起來(lái)卻較麻煩。若能正確認(rèn)識(shí)此分式所表達(dá)的幾何意義，問(wèn)題將得到非常簡(jiǎn)便的解答：因?yàn)?，所以，表示的幾何意義就是點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，從而，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了線段上的點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率的取值范圍，如圖可知：,，所以的取值范圍是

8、例3：（1）求函數(shù)的值域，（2）求函數(shù)的值域10分析：?jiǎn)栴}（1）顯然可用判別式法比較輕松地求解，而問(wèn)題（2）便不能使用判別式法，雖然問(wèn)題（2）可轉(zhuǎn)化為方程在上有解，借助實(shí)根分布的相關(guān)知識(shí)求解，但卻仍然顯得較為麻煩。問(wèn)題（2）利用換元法，令可得，又由的圖像（如圖）可知的取值范圍是，進(jìn)而可知道值域?yàn)槿當(dāng)?shù)形結(jié)合思想在方程與不等式問(wèn)題中的應(yīng)用。1例1：方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是_______個(gè)分析：此方程為一個(gè)超越方程，顯然是無(wú)法求解的，那么解此問(wèn)題的關(guān)鍵就是把方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

9、問(wèn)題?？闪?，，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像（如圖），由圖可以找到兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)一共有3個(gè)，進(jìn)而方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是3個(gè)例2：若3<<2，則x的取值范圍是（　　?。〢、（，）B、（，）C、（，0）è（，+￥）D、（￥，）è（，+￥）102分析1：本題可把元不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，通過(guò)求兩個(gè)分式不等式構(gòu)成的不等式組達(dá)到求解本題的目的，但此做法較慢。分析2：用函數(shù)y=的圖象求解，則比較簡(jiǎn)單。如右圖不難得出3＜＜2的解是＜或＞，故選D例3：設(shè)，關(guān)于的一元二次方程有兩實(shí)根，且，求的取值范圍分析：此題告

10、訴我們方程有兩個(gè)根，所以可考慮解出兩根，再把兩根帶入求解不等式即可。顯然這樣的思路想來(lái)簡(jiǎn)單，但求解卻是非常困難的事情，所以我們不得不考慮其他辦法。若我們令:那么問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與軸應(yīng)有12兩個(gè)交點(diǎn)，而交點(diǎn)的位置一個(gè)在內(nèi)、一個(gè)在內(nèi)，由圖可列出圖像應(yīng)滿足的條件并求解：四．?dāng)?shù)形結(jié)合思想在線性規(guī)劃問(wèn)題中的應(yīng)用。例1：某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤(pán)，根據(jù)需要，軟件至少買(mǎi)3片，磁盤(pán)至少買(mǎi)2盒，則不同的選購(gòu)方式共有（）A5種　B．6種　C．7種