車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)

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1、s2002高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)參考答案注意：以下答案是命題人給出的，僅供參考。各評(píng)閱組應(yīng)根據(jù)對(duì)題目的理解及學(xué)生的解答，自主地進(jìn)行評(píng)閱。一.假設(shè)和簡(jiǎn)化(略)二.模型的建立建立坐標(biāo)系如下圖，記線光源長(zhǎng)度為l，功率為W，B,C點(diǎn)的光強(qiáng)度分別為W和W，先求和的表達(dá)式，再建立整個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.以下均以毫米為單位，由所給信息不難求出車燈反射面方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0,15）。1)位于點(diǎn)P(0,w,15)的單位能量的點(diǎn)光源反射到點(diǎn)C(0,2600,25015)的能量PQbACB0cazyx設(shè)反

2、射點(diǎn)的坐標(biāo)為Q.記入射向量為,該點(diǎn)反射面外法線方向?yàn)?不難得到反射向量滿足記,由從而得的表達(dá)式注意到反射光通過(guò)C點(diǎn),應(yīng)有其中為常數(shù).從上述第一式可解得或.由此得反射點(diǎn)坐標(biāo)滿足以下兩組方程:第4頁(yè)，共4頁(yè)通過(guò)計(jì)算可知,存在,當(dāng)時(shí)第一組方程不存在滿足的實(shí)根,即無(wú)反射點(diǎn).而當(dāng)時(shí),有兩個(gè)反射點(diǎn).而第二組方程僅當(dāng)時(shí)存在滿足的一對(duì)實(shí)根,即有兩個(gè)反射點(diǎn)記為.若反射點(diǎn)的坐標(biāo)為,則位于點(diǎn)的單位能量點(diǎn)光源經(jīng)點(diǎn)反射到C點(diǎn)的能量密度(單位面積的能量,正比于光強(qiáng)度)為其中而為反射向量與z軸的夾角,2)的表達(dá)式長(zhǎng)的具有單位能量的線光源位于點(diǎn)的長(zhǎng)

3、的微小線光源段反射到C點(diǎn)的能量密度為其中長(zhǎng)的具有單位能量的線光源反射到C點(diǎn)的能量密度為類似可得的表達(dá)式.相應(yīng)的反射點(diǎn)方程為第4頁(yè)，共4頁(yè)相應(yīng)的而第二組方程的有兩個(gè)反射點(diǎn)的范圍為3）優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型設(shè)線光源的功率為W,則它反射到B點(diǎn)和C點(diǎn)的能量密度分別為和.問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為:三.模型的求解可以用數(shù)值積分求得.應(yīng)具備下列性質(zhì)：其中為起亮值，為最大值點(diǎn)，為考察的最大范圍，例如取為20mm。也有類似的性質(zhì)，且起亮值和最大值點(diǎn)均相應(yīng)地右移.數(shù)值求解,記其解為,再求出,不難看出且落在之中。令現(xiàn)證為問(wèn)題之最優(yōu)值。事實(shí)上，對(duì)可行域

4、中任一，當(dāng)有（用到時(shí)）。當(dāng)，有，（用到時(shí)）。這就證明了的確是最小值。事實(shí)上數(shù)值結(jié)果為.四.反射光亮區(qū)的計(jì)算分別將線光源和車燈反射面離散化為點(diǎn)光源和面元的集合，計(jì)算每一點(diǎn)光源關(guān)于每一車燈反射面元的反射光線，判斷其是否與車燈反射面相交，若相交，一次反射光不能到達(dá)測(cè)試屏，否則求出該反射光線與反射屏平面的交點(diǎn)，即為反射亮點(diǎn)。所有這些亮點(diǎn)的集合即為反射光亮區(qū)。亮區(qū)的上半部分由下圖所示(橫坐標(biāo)為x軸，縱坐標(biāo)為y軸，單位為mm),下半部分與上半部分是關(guān)于x軸對(duì)稱的.第4頁(yè)，共4頁(yè)五.注記(1)計(jì)算的另一方法是建立問(wèn)題的數(shù)值模型用數(shù)

5、值模擬的方法加以解決.具體的做法是:在得到反射光線和反射到測(cè)試屏上能量的數(shù)學(xué)模型后,分別將線光源和車燈反射面離散化為點(diǎn)光源和面元的集合，在測(cè)試屏B(或C)點(diǎn)附近取一微小面元.計(jì)算每一點(diǎn)光源關(guān)于每一車燈反射面元的反射光線，將所有能到達(dá)該面元的反射光線的反射能量迭加起來(lái),除以面元的面積即為B(或C)點(diǎn)的反射能量密度.但用這樣的方法必須十分注意結(jié)果的檢驗(yàn),注意計(jì)算精度(必須考察線光源和反射面的剖分密度和測(cè)試屏B(或C)點(diǎn)附近小面元的取法等).(2)以上參考答案中沒有考慮線光源本身對(duì)反射光線的遮擋問(wèn)題，即假設(shè)線光源是透明的。

6、如果假設(shè)線光源是不透明的，似乎更符合現(xiàn)實(shí)。此時(shí)需要考慮線光源本身對(duì)反射光線的遮擋，計(jì)算會(huì)更復(fù)雜些，計(jì)算結(jié)果也會(huì)有所不同。第4頁(yè)，共4頁(yè)