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《［推薦精品］探討圓錐曲線的定值、最值與定點問題.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、探討錐曲線的定值、最值與定點問題圓錐曲線中的最值與定值問題,是解析幾何中的綜合問題，是一種典型題型,將函數(shù)與解析融為一體，要求有較強的綜合能力，例析如下。一、定值問題【決定值問題的方法：將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無關(guān)。例1A、B是拋物線(p>0)上的兩點，且OA丄OB,求證:(1)A、B兩點的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別都是定值；(2)直線AB經(jīng)過一個定點。證明：(1)設(shè)A(召，)[)、B(x2,y2),則=2”斗，y22=2px2。??)[2j?2=2卩召-2px2=4p2x}x2=~4p2y}y2,二y》=_4p?為
2、定值,=-yy2=4/r也為定值。(2)：yj—)「=(”+)[)(”_比)=2“(兀
3、一禺)，J曲工飛，~~=—p―--___%一X]y,+y2???直線AB白勺方程為：)?，_)[=-^—兀+yx=-lP_x__)1+『2兒+『2X+兒X+)‘2=-^-(x-2p),???直線AB過定點(2p,0)。X+>?2例2已知拋物線方程為y=--x2+h，點A、B及點P(2,4)都在拋物線上,2直線PA與PB的傾斜角互補。(1)試證明直線AB的斜率為定值；(2)當(dāng)直線AB的縱截距為m(m〉0)時，求△PAB的面積的最大值。分析：這類問題一般運算量丸，要
4、注意函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的靈活運用。解析：(1)證明：扌巴P(2,4)代入y=-丄扌+爪得h=6。所以拋物線方程為：?2y-4=k(x-2),由0),由y=2x+m1乍，消去y得:V=——JT+6?2x2+4x+2m-12=0,令厶=16—4(
5、2m—12)>0,解得ABl2=5[(x,+dr-4兀內(nèi)]=5[42一4(2加-12)]=40(8-加),點P到AB的距離.I2x2-4+/nIm“4厲.丙所以，s*\2-1ABI2-d2=丄.40(8-/?)?—=2m2(8一m)445847=8(^m)(^ah)(8-/n)<8-(
6、)3=
7、y，所以,SPAB<->當(dāng)且僅當(dāng)”i,即吩等時，等號成立，故"AB面積最大值為畔。二.最值問題解決最值的方法：一是代數(shù)法，建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，注意到自變量的范圍；二是幾何法，考慮某些量的幾何特征及意義，利用圖形性質(zhì)求解。22例3求橢圓Z+2
8、1=1上的點P到直線L:x-2y-12=0的最大距離和最小1612距離。方法1:(求切點)設(shè)與L平行的直線與橢圓相切于點P(x0,y0),由橢圓方程3x2+4y2=48得此切線方程3勺兀+4兒)，=48,k=~,.?._如=丄，即24兒23心+2兒=0(1),X3jv()2+4y02=48(2),解⑴⑵得切點的坐標(biāo)為匕(-2,3)P?(2,-3)。設(shè)點P到直線L的距離為d,由點到直線的距離公式，得心和=4亦，"mino方法2:(判別式法)設(shè)與L平行的橢圓的切線方程為X-2y+m=0,代入橢圓方程，消去x得16y2-12/ny+3m2-48=0,由△=
9、(-12m)2-4x16x(3m2-48)=0得m2=64,m=±8o1c當(dāng)m=8時，切線方程x-2y+8=0,此時)，=上仝=3,切點為P】(-2,3);?2x161c當(dāng)m=-8時，切線方程x-2y-8=0,此時)=—=-3,切點為P,(2,2x16--3)設(shè)點P到直線L的距離為d,由點到直線的距離公式，得心和=4亦，—&方法3:(參數(shù)法)設(shè)橢圓上任意一點P(4cos0,2V3sin6),它到直線L的ur.14cos0-4^3sin-1218>/5...71_3..，兀小tr.,距離為d=—=-!!-lsm(—-0)—一I,??當(dāng)sin(--0=-
10、l時,V55626九嚴4厲；當(dāng)sin(￡-0)=1時，dmin=^oOJ點評：方法1、方法2可以求出橢圓上的最遠點和最近點的坐標(biāo)，方法3利但求切點的坐標(biāo)較復(fù)雜。用橢圓的參數(shù)方程，建立目標(biāo)函數(shù)，簡潔明了,例4已知定點A(0,3)點B、C分別在橢圓4x2+—y2=1的準(zhǔn)線上運動，當(dāng)ZBAC=90°時,3求AABC面積的最大值。解：橢圓4x2+—y2=1的兩條準(zhǔn)線方程分別3?為：y=1或y=-1。點B在直線y=l上且設(shè)B(a,1),點C在直線y=-1上且設(shè)C(b,-1),由于ZBAC=90°,A((),3),所以kAB=—,kAC=—ab8k.AB?kAC
11、=—=^，吐=一8。abSABC=*AB
12、.
13、2二詁2+4松+16=#專+16/+4戸+64=^J128+1
