深圳大學_數(shù)理方程_復習

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1、數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)（總結(jié)與復習）深圳大學電子科學與技術學院杜戈果參考了顧樵教授和孫秀泉教授的課件什么是數(shù)學物理方法如何建立數(shù)理方程求解定解問題特殊函數(shù)對實際問題（物理及一般問題），分析考察量的變化規(guī)律，建立相應的微分方程寫出考察量所滿足的相關條件根據(jù)微分方程和相關條件，求出考察量的解討論解的適用條件精確描述線性增長階段例子:人口增長問題(Malthus模型)什么是數(shù)學物理方法？用數(shù)學物理方法處理實際問題:第一步它是最重要的一步也是最困難的一步：數(shù)學物理方程的建立數(shù)學物理方法的核心：統(tǒng)計法：對所考察的問題進行統(tǒng)計學研究，分析考察量的變化規(guī)律，寫出它所滿足的微分方程。

2、這種方法具有非常廣泛的用途，包括生物學、生態(tài)學、經(jīng)濟學、社會學等。微元法：在系統(tǒng)中分出一個微元，分析它與附近部分的相互作用，寫出作用規(guī)律的數(shù)學表達式（比如牛頓第二定律表達式），它就是系統(tǒng)的微分方程。規(guī)律法：直接利用物理學規(guī)律寫出考察量所遵循的數(shù)學物理方程，比如利用電磁波的麥克斯韋方程，寫出電位、電場強度、磁場強度等物理量的微分方程。建立數(shù)理方程的方法基本方程（泛定方程）的建立物理模型（現(xiàn)象、過程）數(shù)學形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培養(yǎng)分析、歸納、綜合、演繹、抽象、猜測、試探、估算的科學方法。步驟：(1）確定研究對象（物理量），建立合適的坐標系；（2）在系統(tǒng)內(nèi)部

3、，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰部分間的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化簡整理，得到偏微分方程。不含初始條件不含邊界條件物理狀態(tài)描述:設有一根均勻、柔軟的細弦，平衡時沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動：雖然經(jīng)典，但極具啟發(fā)性。一.均勻弦的橫振動方程的建立平衡位置:弦被繃緊，內(nèi)部有張力(設為T)，長度為L，水平安置(位于x軸)x00x初始狀態(tài):（例如）弦被拉成下列形狀：LL微元法：弦振動方程任意t時刻弦的形狀:0xu現(xiàn)在的問題：任意時刻t弦上任意點x離開其平衡位

4、置的位移u(x,t)？xuLX1、建立坐標系，選定微元2、微元?s的動力學方程（牛頓第二運動定律）uo?sM1N1M2N2xx+dxT1T2X1、建立坐標系，選定微元uo2、微元?s的動力學方程（牛頓第二運動定律）M1?sN1M2N2xx+dxT1T2(1)(2)水平方向：豎直方向：(忽略重力)弦?s的質(zhì)量:0xxu水平方向：豎直方向：3、忽略與近似對于微振動:T1＝T2，說明張力不隨地點而變，它在整根弦中取同一數(shù)值。(弦振動方程)或者，是的變化量，可以用微分近似代替，即(一維波動方程)強迫振動方程注:齊次方程:只含有對u的各種運算非齊次方程：含有對u運算之外的項f(

5、x,t),被稱為驅(qū)動項,或非零自由項x高溫低溫熱流熱流沿x方向傳遞,任意x處的溫度為u,溫度梯度為，q表示在單位時間內(nèi)流經(jīng)單位面積的熱量，k是熱傳導系數(shù)，負號表示熱流方向與溫度梯度方向相反。單位面積q00u二、熱傳導的傅里葉定律:溫度梯度：低溫?高溫熱流動：高溫?低溫微元長度,橫截積面,體密度:0xxQ1Q2在?t時間內(nèi)從x截面流入的熱量在時間內(nèi)從截面流出的熱量比熱定義體積元吸收的凈熱量表現(xiàn)為溫度的升高均勻細桿：熱傳導方程其中,而熱傳導方程:能量守恒要求:三維熱傳導方程:有源熱傳導方程:梯度：散度：旋度：矢量運算基礎：如果函數(shù)u(x,y,z)和矢量E(x,y,z)有連

6、續(xù)的一階偏導數(shù)，則：微分算符：也稱哈密爾頓算子，讀“代爾（del）”拉普拉斯算符(子)：作用于函數(shù)u給出作用于函數(shù)E給出E泊松方程:拉普拉斯方程:(非齊次:有源場)(齊次:無源場)電場強度與電位的關系定義為:電位方程?u泛定方程定解條件定解問題數(shù)學物理方程：完整表述泛定方程只含一階微商　，只有一個初始條件：泛定方程含二階微商　，需要兩個初始條件:泛定方程不含時間變量，不涉及初始條件（例如拉普拉斯方程）數(shù)理方程：初始條件第一類邊界條件：直接給出考察量在邊界S上的值：第二類邊界條件：給出考察量的導數(shù)在邊界上的值：第三類邊界條件：給出考察量及其導數(shù)的線性組合：（均為已知函數(shù)

7、）數(shù)理方程：邊界條件分別稱為第一類，第二類，第三類齊次邊界條件分別稱為第一類，第二類，第三類非齊次邊界條件數(shù)理方程：邊界條件（自由端/絕熱）（彈性支撐）一個泛定方程與相應的定解條件構(gòu)成“定解問題”。例如弦振動的一個定解問題（兩端固定，初始位移是任意的，初始速度為零）可以表示為數(shù)理方程：定解問題例：(0?x?L)(00)(t>0)幾個名詞簡介:定解問題分為三類：基本方法：1.分離變量法2.行波法3.積分變換法拉普拉斯變換傅里葉變換定解問題的求解有界弦的自由振動有限長桿上的熱傳導圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問題非齊次方程的解法非齊次邊界條