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1、數(shù)理方程復習概要許志奮1緒論：重點掌握兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類和化簡。練習：化下列方程為標準型：（提示：1，雙曲型不要寫成雙曲線；2，的系數(shù)；3，雙曲，橢圓，拋物型各如何作自變量變換）（1）（2）（a為常數(shù)）（3）2波動方程的初值問題與行波法：重點掌握以下幾個方面的問題（1）能夠推導并熟記一維波動方程的初值問題解的D’Alembert公式：u(x,t)=，練習：1.(1)（2）能夠運用齊次化原理求解如下初值問題其解的表達式為：u(x,t)=練習：.4其次，對于半無界弦的振動問題，要能夠根據(jù)所給的定解條件，對自由項f(x,t)以及初始數(shù)據(jù)φ(
2、x),ψ(x)作適當?shù)钠嫜油?u(0,t)=0)或偶延拓()，從而推出其解的表達式。具體見教材頁。練習：（i）（ii）（3）還要注意只由端點所引起的振動，其解為右行波的情形，即注3.1.2及3.1.3的情形。3分離變量法:采用逐步深入的步驟，知道下列三種情況的處理（1）齊次方程齊，次邊界條件。首先利用邊界條件是確定特征函數(shù)系的，最后利用初始條件確定解的表達式中的常數(shù)的！練習（2）非其次方程，齊次邊界條件。首先利用其所對應(yīng)的齊次方程，齊次邊界條件來確定特征函數(shù)系，從而得其形式解或然后把自由項f(x,t)按照相應(yīng)的特征函數(shù)系展開并代入到原方程中去，通過比較
3、系數(shù)確定。練習（3）非其次方程，非齊次邊界條件。首先要把邊界條件化為齊次的，這要通過適當?shù)奈粗瘮?shù)代換。通常是令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),其中v(x,t)滿足齊次邊界條件，根據(jù)線性法容易得到w(x,t)。這樣把u的方程化為v的方程，它是齊次邊界條件的。否則你無法確定特征函數(shù)系。練習提示：在第三種情形下，要注意的一種穩(wěn)定的非齊次問題，即教材中的注4.4.1，及例4.4.1的解法，通過一步函數(shù)代換，可以將方程以及邊界條件同時化為齊次的！這也是經(jīng)常要考查的內(nèi)容。4調(diào)和方程與Green函數(shù)法：應(yīng)掌握以下幾個方面的知識點（1）知道Green公式的
4、推導,并且能夠由Green公式借助Laplace方程的基本解推導出調(diào)和函數(shù)的基本積分表達式二維三維Green公式Laplace方程的基本解調(diào)和函數(shù)的基本積分表達式（2）理解Green函數(shù)的意義及性質(zhì)，并知道半空間以及球面上的Green函數(shù)，能夠以此得出Dirichlet問題的解。（i）半空間三維，其Green函數(shù)為，因而可得出此方程解為二維，其Green函數(shù)為，因而可得出此方程解為（ii）球域上的Green函數(shù)的作法三維，其其Green函數(shù)為，其解的表達式（4.4.7）類似的可以得出二維圓域上Laplace方程Dirichlet問題的解為（3）一般區(qū)域
5、上Green函數(shù)的構(gòu)造，例如，四分之一平面，上半球面。（4）調(diào)和函數(shù)的平均值性質(zhì)。5積分變換法：（1）首先要知道傅里葉變換及其逆變換公式與（2）幾個重要公式，，（3）掌握傅里葉變換的性質(zhì)，尤其是位移性質(zhì)以及微分性質(zhì)，卷積性質(zhì)，并能夠利用傅里葉變換來求微分方程的解。練習習題5，1，4，5，7希望同學們能夠牢固掌握上面所提到的知識點，最后祝大家考出好成績！
