數(shù)理方程復(fù)習(xí)題型

《數(shù)理方程復(fù)習(xí)題型》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、數(shù)理方程復(fù)習(xí)題型題型一：根據(jù)物理過程寫出相應(yīng)的定解問題習(xí)題一：1,2例、長(zhǎng)為l的均勻桿，側(cè)面絕緣，桿的初始溫度分布為φ(x)，一dQ端有恒定熱流q進(jìn)入q=,另一端絕熱。寫出相應(yīng)的定解問題。dtds解：根據(jù)題意，可知為熱傳導(dǎo)問題，方程為u=a2utxx①初始條件：u

2、t=0=φ(x)②邊界條件：端有恒定熱流q進(jìn)入，則：dQ?u因?yàn)閝=dQ=?kdtdsdtds?n?uq所以

3、x=0=??xk另一端絕熱，則u

4、x=l=0綜上，要求的定解問題為：?u2?2u?=a2,00?t?x?u

5、=?q,u

6、=0,t>0??xx=0kx=l?u

7、t=0=φ(x),0

8、≤x≤l題型二：求特征值問題X"(x)+λX(x)=0X"(x)+λX(x)=01)?2)?X(0)=X(l)=0X’(0)=X(l)=0X"(x)+λX(x)=0X"(x)+λX(x)=03)?4)?X(0)=X’(l)=0X’(0)=X’(l)=0Φ"(θ)+λΦ(θ)=05)?Φ(0)=Φ(θ+2π)以求解4）、5）兩題為例：X"(x)+λX(x)=04)?X’(0)=X’(l)=0解：i、當(dāng)λ<0時(shí)，X(x)=Ae?√?λx+Be√?λxX’(x)=?√?λAe?√?λx+√?λBe√?λx，帶入條件得：A=0，B=0，沒有非零解；ii、當(dāng)λ=0時(shí)，X(

9、x)=A+BxX’(x)=B，帶入條件得：A為不為零常數(shù)，B=0，X0(x)=A0；iii、當(dāng)λ>0時(shí)λ=β2，X(x)=Acosβx+BsinβxX’(x)=?Aβsinβx+Bβcosβx，帶入條件得：kπkπB=0，要使A≠0，則sinβl=0→β=所以X(x)=Acosx，llkπk2π2即：Xk(x)=Akcosx(k=1,2,·····),λk=2(k=1,2,·····)llkπ綜上：Xk(x)=Akcosx(k=0,1,2,·····)lΦ"(θ)+λΦ(θ)=05)?Φ(0)=Φ(θ+2π)解：i、當(dāng)λ<0時(shí)，Φ(θ)=Ae?√?λθ+Be√?

10、λθΦ(θ+2π)=Ae?2π√?λe?√?λθ+Be2π√?λe√?λθ，帶入條件得：A=0，B=0，沒有非零解；ii、當(dāng)λ=0時(shí)，Φ(θ)=Aθ+BΦ(θ+2π)=Aθ+B+2Aπ，帶入條件得：A=0，Φ0(θ)=B0；iii、當(dāng)λ>0時(shí)λ=β2，Φ(θ)=Bcosβθ+AsinβθΦ(θ+2π)=Bcosβ(θ+2π)+Asinβ(θ+2π)，帶入條件得β必須取整數(shù)(n=1,2,·····)所以Φn(θ)=Bncosnθ+Ansinnθ(n=1,2,·····).綜上：Φn(θ)=Bncosnθ+Ansinnθ(n=0,1,2,·····).題型三、用分離

11、變量法求齊次邊界條件下的定解問題第二章第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)習(xí)題二1,2,3,4，5,6,7,13,17,18以第3題為例：3、就下列初始條件及邊界條件解弦振動(dòng)方程1x,0≤x≤2u

12、t=0=?11?x,

13、t=0=x(x?1),0≤x≤1?tu

14、x=0=u

15、x=1=0,t>0解：該定解問題為?2u2?2u=a，00??t2?x21?x,0≤x≤2u

16、t=0=φ(x)=?11?x,

17、t=0=Ψ(x)=x(x?1),0≤x≤1?u

18、x=0=u

19、x=1=0,t>0令u(?,t)=X(?)T(t)代入方程得：”2"X(?)"

20、T(t)“?(?)?(?)=??(?)?(?)==?λX(?)?2?(?)X(?)"+λX(?)=0??(?)”+λ?2?(?)=0①求?(?)由題意可得X(0)=X(1)=0X(?)"+λX(?)=0所以?X(0)=X(1)=0i、當(dāng)λ<0時(shí)，無非零解；ii、當(dāng)λ=0時(shí)，無非零解；iii、當(dāng)λ>0時(shí)，設(shè)λ=β2X(x)=Acosβx+Bsinβx帶入條件得A=0，β=nπ,λ=n2π2所以X(x)=?sin???(?=1,2,······)λ=n2π2(?=1,2,······)??n②求?(?)?(?)”+?2n2π2?(?)=0解得?(?)=?’cosa?

21、??+?’sina??????③求un(?,t)un(?,t)=X?(x)??(?)=(??cosa???+??sina???)sin???其中?=?’?，?=?’???????u(?,t)=∑+∞u(?,t)=∑+∞(?cosa???+?sina???)sin???n=1nn=1??④求系數(shù)??,??根據(jù)初始條件得：u(?,0)=∑+∞?sin???=φ(x)n=1??u’(?,0)=∑+∞????sin???=Ψ(x)n=1?利用傅立葉系數(shù)公式111??=2∫φ(x)sin???dx=2?∫2?sin?????+∫1(1??)sin??????0022121

22、??=∫Ψ(x)sin?